等差數列的第三項是7，第七項比第三項的三倍多2。求該數列的首項、公差和前20項的和。

已知

等差數列的第三項是7，第七項比第三項的三倍多2。

要求

我們需要求出該數列的首項、公差和前20項的和。

解答

設該等差數列的首項、公差和項數分別為$a, d$和$n$。

我們知道：

等差數列的第n項 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

首項 $a_1=a$

$a_{3}=a+(3-1)d$

$7=a+2d$.....(i)

$a_{7}=a+(7-1)d$

$=a+6d$....(ii)

根據題意：

$a_{7}=3a_3+2$

$a+6d=3(a+2d)+2$

$a+6d=3a+6d+2$

$3a-a=-2$

$2a=-2$

$a=-1$....(iii)

將$a=-1$代入(i)式，得到：

$7=-1+2d$

$2d=7+1$

$d=\frac{8}{2}$

$d=4$

等差數列前n項和 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{20}=\frac{20}{2}[2(-1)+(20-1)4]$

$=10(-2+76)$

$=10(74)$

$=740$

首項為-1，公差為4，前20項的和為740。 

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更新於：2022年10月10日

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