等差數列的第 24 項是其第 10 項的兩倍。證明其第 72 項是其第 15 項的 4 倍。

已知

等差數列的第 24 項是其第 10 項的兩倍。

要求

我們需要證明第 72 項是第 15 項的 4 倍。

解答

設所求等差數列為 $a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$，公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{24}=a+(24-1)d$

$=a+23d$.....(i)

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$....(ii)

根據題意，

$a_{24}=2\times a_{10}$

$a+23d=2(a+9d)$    (由(i)和(ii))

$a+23d=2a+18d$

$2a-a=23d-18d$

$a=5d$.....(iii)

這意味著，

第 15 項 $a_{15}=a+(15-1)d$

$=a+14d$

$=5d+14d$    (由 (iii))

$=19d$.....(iv)

第 72 項 $a_{72}=a+(72-1)d$

$=a+71d$

$=5d+71d$    (由 (iii))

$=76d$

$=4(19d)$

$=4\times a_{15}$     (由 (iv))

因此，第 72 項是第 15 項的 4 倍。

證畢。 

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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