如果一個等差數列的第 7 項是 $\frac{1}{9}$，第 9 項是 $\frac{1}{7}$，求它的第 63 項。

已知

等差數列的第 7 項是 $\frac{1}{9}$，第 9 項是 $\frac{1}{7}$。

要求

我們必須找到給定等差數列的第 63 項。

解答

設 $a$ 為給定等差數列的首項，$d$ 為公差。

我們知道，

等差數列的第 $n$ 項 $a_{n} =a+( n-1) d$

給定等差數列的第 7 項 $a_{7} =a+( 7-1) d$

$\Rightarrow \frac{1}{9} =a+6d\ \ \ \ ...........( 1)$

類似地，

給定等差數列的第 9 項 $a_{9} =a+( 9-1) d$

$\frac{1}{7} =a+8d\ \ \ \ \ \ \ \ \ .............( 2)$

從 $( 1)$ 中減去 $( 2)$

$a+8d-a-6d=\frac{1}{7} -\frac{1}{9}$

$\Rightarrow 2d=\frac{2}{63}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{63}$,

將 $d$ 的值代入 $( 1)$，得到：

$\frac{1}{9} =a+6\times \frac{1}{63}$

$\Rightarrow a=\frac{1}{9} -\frac{6}{63}$

$\Rightarrow a=\frac{7-6}{63} =\frac{1}{63}$

給定等差數列的第 63 項 $a_{63}=a+( 63-1) d$

$a_{63} =\frac{1}{63} +62\times \frac{1}{63}$

$a_{63} =\frac{1}{63} +\frac{62}{63}$

$a_{63} =\frac{63}{63} =1$

因此，給定等差數列的第 63 項是 1。 

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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