等差數列(A.P.)的第4項和第8項之和為24，第6項和第10項之和為44。求此等差數列。

已知

等差數列的第4項和第8項之和為24，第6項和第10項之和為44。

要求

求此等差數列。

解答

設等差數列的首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道：

等差數列的第n項 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$......(i)

$a_{8}=a+(8-1)d$

$=a+7d$......(ii)

根據題意：

$a_4+a_8=a+3d+a+7d$

$24=2a+10d$

$24=2(a+5d)$

$12=a+5d$

$a=12-5d$......(iii)

$a_{6}=a+(6-1)d$

$=a+5d$......(iv)

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$......(v)

根據題意：

$a_6+a_{10}=a+5d+a+9d$

$44=2a+14d$

$44=2(a+7d)$

$22=a+7d$

$7d=22-(12-5d)$ (由(iii)式)

$7d=22-12+5d$

$7d-5d=10$

$2d=10$

$d=\frac{10}{2}$

$d=5$

這意味著：

$a=12-5(5)$

$a=12-25$

$a=-13$

因此：

$a_1=-13$

$a_2=a+d=-13+5=-8$

$a_3=a+2d=-13+2(5)=-13+10=-3$

$a_4=a+3d=-13+3(5)=-13+15=2$

因此，所求等差數列為 $-13, -8, -3, 2, ......$

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更新於：2022年10月10日

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