等差數列前七項的和為 182。如果它的第 4 項和第 17 項之比為 1:5，求這個等差數列。

已知

等差數列前七項的和為 182。它的第 4 項和第 17 項之比為 1:5。

要求

我們需要求出這個等差數列。

解答

設等差數列的首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道，

等差數列的第 n 項 $a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$......(i)

$a_{17}=a+(17-1)d$

$=a+16d$......(ii)

根據題意，

$a_4 : a_{17}=(a+3d): (a+16d)$

$\frac{1}{5}=\frac{a+3d}{a+16d}$

$1(a+16d)=5(a+3d)$ 

$a+16d=5a+15d$

$5a-a=16d-15d$

$4a=d$

$a=\frac{d}{4}$......(iii)

等差數列前 n 項的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_7=\frac{7}{2}(2a+(7-1)d)$

$182=\frac{7}{2}(2a+6d)$

$26=a+3d$

$26=\frac{d}{4}+3d$     (由 (iii) 式得)

$26=\frac{d+4(3d)}{4}$

$4(26)=d+12d$

$104=13d$

$d=\frac{104}{13}$

$d=8$

因此，

$a=\frac{8}{4}$

$a=2$

$\Rightarrow a_{2}=a+d=2+8=10$

$a_3=a+2d=2+2(8)=2+16=18$

$a_4=a+3d=2+3(8)=2+24=26$

因此，所求等差數列為 $2, 10, 18, 26, ......$   

教程點

更新於: 2022年10月10日

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