如果p，q是素數正整數，證明√p + √q是無理數。

已知： p，q是素數正整數。

證明： 這裡我們要證明 √p + √q 是無理數。

解答

我們假設，與結論相反，√p + √q 是有理數。

因此，我們可以找到整數a和b（b≠0），使得 √p + √q = a/b。

其中a和b互質。

現在，

√p + √q = a/b

√p = a/b - √q

兩邊平方:

(√p)² = (a/b - √q)²

p = (a/b)² + (√q)² - 2(a/b)(√q)

p = a²/b² + q - 2(a/b)(√q)

2(a/b)(√q) = a²/b² + q - p

√q = (b/2a)(a²/b² + q - p)

這裡，(b/2a)(a²/b² + q - p)是有理數，但是√q是無理數。

但是，無理數 ≠ 有理數。

這個矛盾是由於我們錯誤地假設√p + √q是有理數而產生的。

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更新於：2022年10月10日

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