如果p是一個質數，q是一個正整數，使得$p + q = 1696$。如果p和q是互質數，它們的最小公倍數是21879，則求p和q。

已知:

• $p + q = 1696$   ...(i)
• p 和 q 的最小公倍數 $= 21879$
• p 和 q 是互質數，兩個互質數的最大公約數總是 1。

求解:

我們需要找到p和q的值。

解答:

為了找到p和q的值，我們需要使用下面的性質

• 兩個數的乘積等於這兩個數的最大公約數(H.C.F.)和最小公倍數(L.C.M.)的乘積。

使用此性質得到

$p\ \times \ q\ =\ H.C.F\ \times \ L.C.M$

$p\ \times \ q\ =\ 1\ \times \ 21879$

$p\ \times \ q\ =\ 21879$

$q\ =\ \frac{21879}{p} \ \ \ \ \ \ \ \ ...(ii)$

將方程(ii)中q的值代入方程(i)

$p\ +\ \frac{21879}{p} \ =\ 1696$

$\frac{p^{2} \ +\ 21879}{p} \ =\ 1696$

$p^{2} \ +\ 21879\ =\ 1696p$

$p^{2} \ -\ 1696p\ +\ 21879\ =\ 0$

$p^{2} \ -\ 1683p\ -\ 13p\ +\ 21879\ =\ 0$

$p(p\ -\ 1683)\ -\ 13(p\ -\ 1683)\ =\ 0$

$(p\ -\ 1683)(p\ -\ 13)\ =\ 0$

$\mathbf{p\ =\ 1683,\ 13}$

題目中已經給出p是一個質數。所以，

$p\ =\ 13$

現在，將p的值代入方程(i)得到q的值

$13\ +\ q\ =\ 1696$

$q\ =\ 1696\ -\ 13$

$\mathbf{q\ =\ 1683}$

因此，

$\mathbf{p\ =\ 13\ \ and\ \ q\ =\ 1683}$.

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更新於: 2022年10月10日

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