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法學證明當p和q為素數時，$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是無理數。
已知：
p和q是素數。
要求：
我們必須證明$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是無理數。
解答
我們假設，與結論相反，$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是有理數。
因此，我們可以找到整數a和b（b≠0），使得$\sqrt{p} + \sqrt{q} = \frac{a}{b}$。
其中a和b互質。
現在，
$\sqrt{p} + \sqrt{q} = \frac{a}{b}$
$\sqrt{p} = \frac{a}{b} - \sqrt{q}$
兩邊平方:
$(\sqrt{p})^2 = (\frac{a}{b} - \sqrt{q})^2$
$p = (\frac{a}{b})^2 + (\sqrt{q})^2 - 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$
$p = \frac{a^2}{b^2} + q - 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$
$2(\frac{a}{b})(\sqrt{q}) = \frac{a^2}{b^2} + q - p$
$\sqrt{q} = (\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2} + q - p)$
這裡，$(\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2} + q - p)$是有理數，但是$\sqrt{q}$是無理數（除非q是完全平方數，但p和q是素數，故此情況不可能）。
但是，無理數≠有理數。
這個矛盾源於我們錯誤的假設，即$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是有理數。
所以，這證明了$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是無理數。
更新於：2022年10月10日
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