如果 $p,\ q,\ r$ 成等差數列，則證明 $p^2( p+r),\ q^2( r+p),\ r^2( p+q)$ 也成等差數列。

已知： $p,\ q,\ r$ 成等差數列。

要求：證明 $p^2( p+r),\ q^2( r+p),\ r^2( p+q)$ 也成等差數列。

解答

$p,\ q,\ r$ 成等差數列。

$\Rightarrow 2q=p+r$

$p^2( p+r)+r^2( p+q)$

$=p^2q+p^2r+r^2p+r^2q$

$=p^2q+r^2q+pr( p+r)$

$=p^2q+r^2q+pr( 2q)$

$=q( p^2+r^2+2pr)$

$=q( p+r)^2$

$=q( p+r)( p+r)$

$=q( 2q)2q$

$=2q^2( p+r)$

$=2q^2( r+p)$

$p^2( p+r)+r^2( p+q)=2q^2( r+p)$

$\Rightarrow p^2( p+r),\ q^2( r+p),\ r^2( p+q)$ 成等差數列。

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更新於：2022年10月10日

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