證明對於任何素數正整數 $p$，$\sqrt{p}$ 是一個無理數。

已知：正整數 $p$。

證明：這裡我們要證明對於任何素數正整數 $p$，$\sqrt{p}$ 是一個無理數。

解

假設，與之相反，$\sqrt{p}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 $a$ 和 $b$（$≠$ 0），使得 $\sqrt{p}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 $a$ 和 $b$ 互質。

現在，

$\sqrt{p}\ =\ \frac{a}{b}$

兩邊平方:

$(\sqrt{p})^2\ =\ (\frac{a}{b})^2$

$p\ =\ \frac{a^2}{b^2}$

$pb^2\ =\ a^2$   ...(1)

因此，$p$ 整除 $a^2$。這意味著 $p$ 也整除 $a$。所以，我們可以寫成 $a\ =\ pc$，其中 $c$ 是某個整數。

$a\ =\ pc$

兩邊平方:

$a^2\ =\ p^2c^2$

將 $a^2$ 的值代入方程 (1)

$pb^2\ =\ p^2c^2$

$b^2\ =\ pc^2$

因此，$p$ 整除 $b^2$。這意味著 $p$ 也整除 $b$。

所以，$a$ 和 $b$ 至少有 $p$ 作為公因子。

但這與 $a$ 和 $b$ 除了 1 之外沒有其他公因子的事實相矛盾。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 $\sqrt{p}$ 是有理數而產生的。

所以，我們可以得出結論，$\sqrt{p}$ 是無理數。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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