一個實心金屬直圓錐體，高20釐米，其頂角為$60^{o}$，被一個平行於底面的平面在其高度的中部截成兩部分。如果由此得到的圓臺被拉成直徑為$\frac{1}{12}$釐米的金屬絲，求金屬絲的長度。

已知：一個實心金屬直圓錐體，高20釐米，其頂角為$60^{o}$，被一個平行於底面的平面在其高度的中部截成兩部分。如果由此得到的圓臺被拉成直徑為$\frac{1}{16}$釐米的金屬絲。

要求：求金屬絲的長度。

設ACB為圓錐體，其頂角$\angle ACB = 60^{o} $。

設$R$和$x$分別為圓臺上下底的半徑。

這裡，圓錐體的高度，$OC = 20 cm=H$

高度$CP = h = 10\ cm $

設P為OC的中點

透過P將圓錐體截成兩部分。

OP =$\frac{20}{2}= 10\ cm$

此外，$\angle ACO$和$\angle OCB =$\frac{1}{2} \times 60^{o} =30^{o} $

從圓錐體CBA中截去圓錐體CQS後，得到的剩餘固體是一個圓臺。

現在，在三角形CPQ中

$tan30^{o}=\frac{x}{10}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{x}{10}$

$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt{3}}\ cm$

在三角形COB中

$tan30^{o}=\frac{R}{20}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{R}{20}$

$\Rightarrow R=\frac{20}{\sqrt{3}}$

圓臺的體積，$V=\frac{1}{3} \pi \left( R^{2} H-x^{2} h\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^{2} .20-\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^{2} .10\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{400\times 20}{3} -\frac{100\times 10}{3}\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{8000-1000}{3}\right)$

$\Rightarrow V=\frac{7000}{9} \pi \ cm^{3}$

假設金屬絲的長度為l。

已知從圓臺得到的金屬絲的直徑為$\frac{1}{12}\ cm$

金屬絲的半徑，$r=\frac{1}{2} \times \frac{1}{12} =\frac{1}{24}\ cm$

金屬絲的體積$=\pi r^{2} l$

$=\pi \left(\frac{1}{24}\right)^{2} l$

$=\frac{\pi l}{576} cm^{3}$

圓臺和形成的金屬絲的體積相等，

$\frac{7000}{9} \pi =\frac{\pi l}{576}$

$\Rightarrow \frac{7000}{9} =\frac{l}{576}$

$\Rightarrow l=\frac{7000\times 576}{9}$

$\Rightarrow l=448000\ cm$

$\Rightarrow l=4480\ cm$

因此，金屬絲的長度為480釐米。