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法律研究一個實心直圓錐體被一個平行於底面的平面在它高度的中點處切成兩部分。求小圓錐體積與整個圓錐體積的比值。
已知：一個實心直圓錐體被一個平行於底面的平面在它高度的中點處切成兩部分。
要求：求小圓錐體積與整個圓錐體積的比值。
解答
設給定圓錐體的半徑為 $r$，高為 $h$。
$AD=h$ 且 $DC=r$
$\therefore AG=\frac{h}{2}$
在 $\vartriangle AGF$ 和 $\vartriangle ADC$ 中
$\angle AFG=\angle ACD$
$\because EF||BC$
$\therefore \angle AGE=\angle ADC=90^o$
$\vartriangle AGF\sim \vartriangle ADC$
$\Rightarrow \frac{AG}{AD}=\frac{GF}{DC}$
$\Rightarrow \frac{\frac{h}{2}}{h}=\frac{GF}{DC}$
$\Rightarrow \frac{GF}{DC}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{GF}{r}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow GF=\frac{r}{2}$
$\Rightarrow \frac{小圓錐體積}{整個圓錐體積}=\frac{\frac{1}{3}\times \pi\ ( \frac{r}{2})^2\times( \frac{h}{2})}{\frac{1}{3}\times \pi r^2h}$
$=\frac{1}{8}$
$=1:8$
因此，小圓錐體積與整個圓錐體積的比值為 $1:8$。
更新於: 2022年10月10日
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