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法律研究一座建築物呈圓柱體形狀，頂部覆蓋著一個半球形圓頂。圓頂的底面直徑等於建築物總高度的\( \frac{2}{3} \)。如果建築物內包含\( 67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3} \)的空氣，求建築物的高度。
已知
一座建築物呈圓柱體形狀，頂部覆蓋著一個半球形圓頂。
圓頂的底面直徑等於建築物總高度的\( \frac{2}{3} \)。
建築物內包含\( 67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3} \)的空氣。
求解
我們需要求出建築物的高度。
解答
設半球形圓頂的半徑為 $r$，建築物的總高度為 $h$。
圓頂的底面直徑 $=\frac{2}{3} \times$ 總高度
這意味著，
$2r= \frac{2}{3}h$
$r= \frac{h}{3}$
設圓柱部分的高度為 $H$。
因此，
$H = h - \frac{h}{3}$
$=\frac{2}{3}h$
建築物內部空氣的體積 = 圓頂內部空氣的體積 + 圓柱部分內部空氣的體積
$=\frac{2}{3} \pi r^3 + \pi r^2 H$
$=\frac{2}{3} \pi (\frac{h}{3})^{3}+\pi(\frac{h}{3})^{2}(\frac{2}{3} h)$
$=\frac{8}{81} \pi h^{3}$
建築物內部空氣的體積 $= 67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3}$
因此，
$\frac{8}{81} \pi h^{3}=\frac{1408}{21}$
$\Rightarrow h^{3}=\frac{1408 \times 81 \times 7}{21 \times 8 \times 22}$
$\Rightarrow h^{3}=216$
$\Rightarrow h^{3}=(6)^{3}$
$\Rightarrow h=6 \mathrm{~m}$
建築物的高度為 $6\ m$。
更新時間： 2022年10月10日
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