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法律研究一座建築物呈圓柱形，頂部是一個半球形拱頂，內部容積為 \( 41 \frac{19}{21} \mathrm{~m}^{3} \)。如果拱頂的內徑等於其從地面到頂部的總高度，求這座建築物的高度？
已知
一座建築物呈圓柱形，頂部是一個半球形拱頂，內部容積為 \( 41 \frac{19}{21} \mathrm{~m}^{3} \)。
拱頂的內徑等於其從地面到頂部的總高度。
要求
我們需要求出建築物的高度。
解答
設建築物的總高度為 $2r$。
這意味著：
拱頂的內徑 $= 2r$
拱頂的半徑 $=\frac{2r}{2}$
$ = r$
圓柱部分的高度 $= 2r-r$
$= r$
因此：
圓柱部分的體積 $=\pi r^{2}(r)$
$=\pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
半球形拱頂的體積 $=\frac{2}{3} \pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
建築物的總體積 $=$ 圓柱部分的體積 $+$ 半球形拱頂的體積
$=\pi r^{3}+\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{5}{3} \pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
建築物的體積 $=$ 空氣的體積
$\Rightarrow \frac{5}{3} \pi r^{3}=41 \frac{19}{21}$
$\Rightarrow \frac{5}{3} \pi r^{3}=\frac{880}{21}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{880 \times 7 \times 3}{21 \times 22 \times 5}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{40 \times 21}{21 \times 5}$
$\Rightarrow r^{3}=8$
$\Rightarrow r^{3}=8$
$\Rightarrow r=2$
這意味著：
建築物的高度 $=2 r$
$=2 \times 2$
$=4 \mathrm{~m}$
建築物的高度為 $4\ m$。
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