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法律研究因式分解該表示式 $a^4-\frac{1}{b^4}$。
已知
給定的代數表示式為 $a^4-\frac{1}{b^4}$。
待做
我們必須對錶達式 $a^4-\frac{1}{b^4}$ 進行因式分解。
解決方案
因式分解代數式
對代數式因式分解是指把該式寫成兩個或多個因子的乘積。因式分解是分配律的反向操作。
當代數式寫成質因數的乘積時，即完全因式分解。
$a^4-\frac{1}{b^4}$ 可以寫成：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2)^2-(\frac{1}{b^2})^2$
在此，我們可以觀察到，給定表示式是兩個平方差。因此，透過使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以對給定表示式進行因式分解。
因此：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2)^2-(\frac{1}{b^2})^2$
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2+\frac{1}{b^2})(a^2-\frac{1}{b^2})$
現在，
$(a^2-\frac{1}{b^2})$ 可以寫成：
$(a^2-\frac{1}{b^2})=a^2-(\frac{1}{b})^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以對 $(a^2-(\frac{1}{b})^2)$ 進行因式分解。
$a^2-(\frac{1}{b})^2=(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$.............(I)
因此：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2+\frac{1}{b^2})(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$ [使用 (I)]
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a^2+\frac{1}{b^2})(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$。
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