因式分解表示式 $a^4-16b^4$。

已知

給定的表示式是 $a^4-16b^4$。

要求

我們必須因式分解表示式 $a^4-16b^4$。

解答

代數表示式的因式分解

代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。

當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。

$a^4-16b^4$ 可以寫成：

$a^4-16b^4=(a^2)^2-(4b^2)^2$ [因為 $16=4^2$]

這裡，我們可以觀察到給定的表示式是兩個平方的差。因此，使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以因式分解給定的表示式。

因此，

$a^4-16b^4=(a^2)^2-(4b^2)^2$

$a^4-16b^4=(a^2+4b^2)(a^2-4b^2)$

現在，

$(a^2-4b^2)$ 可以寫成：

$(a^2-4b^2)=a^2-(2b)^2$ [因為 $4=2^2$]

使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以因式分解 $(a^2-4b^2)$。

$a^2-(2b)^2=(a+2b)(a-2b)$.............(I)

因此，

$(a^2+4b^2)(a^2-4b^2)=(a^2+4b^2)(a+2b)(a-2b)$ [使用 (I)]

因此，給定的表示式可以因式分解為$(a^2+4b^2)(a+2b)(a-2b)$。

Akhileshwar Nani

更新於：2023年4月7日

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