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法學因式分解代數表示式 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
已知
給定的代數表示式是 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
要求
我們必須因式分解表示式 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆過程。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
$9z^2-x^2+4xy-4y^2$ 可以寫成：
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-(x^2-4xy+4y^2)$
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[x^2-2(x)(2y)+(2y)^2]$ [因為 $x^2=(x)^2, 4y^2=(2y)^2$ 且 $4xy=2(x)(2y)$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以因式分解給定的表示式。
這裡：
$m=x$ 且 $n=2y$
因此：
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[x^2-2(x)(2y)+(2y)^2]$
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[(x-2y)^2]$
現在：
$9z^2-[(x-2y)^2]$ 可以寫成：
$9z^2-[(x-2y)^2]=(3z)^2-(x-2y)^2$ [因為 $9z^2=(3z)^2$]
利用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將 $(3z)^2-(x-2y)^2$ 因式分解為：
$9z^2-(x-2y)^2=(3z)^2-(x-2y)^2$
$9z^2-(x-2y)^2=(3z+x-2y)[3z-(x-2y)]$
$9z^2-(x-2y)^2=(x-2y+3z)(-x+2y+3z)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x-2y+3z)(-x+2y+3z)$。
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