傅立葉級數如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出， $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-jn\omega_{0} t}\:dt… (2)}$$帕塞瓦爾定理和帕塞瓦爾恆等式令 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 為兩個週期為 T 的復週期函式，其傅立葉級數係數分別為 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果， $$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那麼，連續時間傅立葉級數的帕塞瓦爾定理指出 $$\mathrm{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt =\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:D_{n}^{*}\:[for\:complex\: x_{1}(t)\: \& \: x_{2}(t)] … (3)}$$傅立葉級數的帕塞瓦爾恆等式指出，如果 $$\mathrm{x_{1}(t)=x_{1}(t)=x(t)}$$那麼， $$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (4)}$$證明 - 帕塞瓦爾定理或帕塞瓦爾關係或 ... 閱讀更多

波形對稱性的重要性如果一個週期訊號 $x(t)$ 具有某種型別的對稱性，那麼一些三角傅立葉級數係數可能會變為零，從而簡化係數的計算。奇對稱或旋轉對稱當一個週期函式 $x(t)$ 關於垂直軸反對稱時，則稱該函式具有奇對稱或旋轉對稱。在數學上，如果一個函式 $x(t)$ 滿足以下條件，則稱其具有奇對稱， $$\mathrm{x(t)=-x(-t)… (1)}$$圖中顯示了一些具有奇對稱的函式。很明顯，奇對稱函式總是關於垂直軸反對稱的。解釋眾所周知，任何週期訊號 ... 閱讀更多

傅立葉變換傅立葉變換被定義為一種變換技術，它將訊號從連續時間域變換到相應的頻域，反之亦然。換句話說，傅立葉變換是一種將時間函式 $x(t)$ 變換為頻率函式 X(ω) 並反之亦然的數學技術。對於連續時間函式 $x(t)$，$x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為 $$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$關於傅立葉變換的要點傅立葉變換可以應用於週期訊號和非週期訊號。傅立葉變換廣泛應用於線性時不變 (LTI) 系統分析、密碼學、訊號處理、訊號分析等領域。傅立葉變換 ... 閱讀更多

波形對稱性的重要性如果一個週期訊號 $x(t)$ 具有某種型別的對稱性，那麼一些三角傅立葉級數係數可能會變為零，從而簡化係數的計算。半波對稱如果一個週期函式 $x(t)$ 滿足以下條件，則稱其具有半波對稱： $$\mathrm{x(t)=-x\left ( t ± \frac{T}{2}\right )… (1)}$$其中，$T$ 是函式的週期。圖中顯示了一個具有半波對稱的週期函式 $x(t)$。可以看出，此函式既不是純偶函式也不是純奇函式。對於此類函式，直流分量 ... 閱讀更多

以週期函式 $x(t)$ 的傅立葉係數與頻率 (ω) 為橫座標繪製的圖形稱為週期訊號的傅立葉頻譜。週期函式的傅立葉頻譜有兩個部分：幅度譜 - 週期訊號的幅度譜定義為傅立葉係數的幅度與頻率的關係圖。相位譜 - 傅立葉係數的相位與頻率的關係圖稱為訊號的相位譜。幅度譜和相位譜一起稱為週期訊號 $x(t)$ 的傅立葉頻率譜。這種型別的表示 ... 閱讀更多

指數傅立葉級數一個週期訊號可以在一定的時間間隔內表示為正交函式的線性組合。如果這些正交函式是指數函式，則稱為指數傅立葉級數對於任何週期訊號 𝑥(𝑡)，傅立葉級數的指數形式由下式給出， $$\mathrm{X(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0t}\:\:\:...(1)}$$其中，𝜔0 = 2𝜋⁄𝑇 是週期函式的角頻率。指數傅立葉級數的係數為了計算指數級數的係數，我們將方程 (1) 的兩邊乘以 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡 並對一個週期進行積分，因此我們有， $$\mathrm{\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jm\omega_0t}dt=\int_{t_0}^{t_0+T}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_0t})e^{-jm\omega_{0}t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jm\omega_0t}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\int_{t_0}^{t_0+T}e^{jn\omega_0t}e^{-jm\omega_0t}dt}$$$$\mathrm{\because \int_{t_0}^{t_0+T}e^{jn\omega_0t}e^{-jm\omega_0t}dt=\begin{cases}0 & for\: m ... 閱讀更多

一個週期訊號可以在一定的時間間隔內表示為正交函式的線性組合，如果這些正交函式是三角函式，則傅立葉級數表示稱為三角傅立葉級數。解釋考慮一個正弦訊號 $x(t)=A\:sin\:\omega_{0}t$，它是一個週期為 $T$ 的週期函式，使得 $T=2\pi/ \omega_{0}$。如果兩個正弦波的頻率是基頻 $(\omega_{0})$ 的整數倍，則這兩個正弦波的和也是週期性的。我們可以證明，一個訊號 $x(t)$ 是正弦和餘弦函式的和，其頻率是基頻的整數倍 ... 閱讀更多

傅立葉級數如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出， $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$傅立葉級數的時移特性令 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。那麼，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那麼，連續時間傅立葉級數的時移特性指出 $$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0} t_{0}}C_{n}}$$證明根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}…(3)}$$在方程 (3) 中用 $(t− t_{0})$ 替換 $t$，我們有， $$\mathrm{x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t− t_{0})}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}… (4)}$$$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]… (5)}$$根據方程 (4) & ... 閱讀更多

傅立葉變換連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$逆傅立葉變換定義為， $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d \omega}$$傅立葉變換的時間微分特性陳述 - 傅立葉變換的時間微分特性指出，函式在時域中的微分相當於其傅立葉變換在頻域中乘以一個因子 $j\omega$。因此，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那麼，根據時間微分特性， $$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$證明根據逆傅立葉變換的定義，我們有， $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega}$$在兩邊取時間微分，得到， $$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega\right ]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omega t}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omega ... 閱讀更多

傅立葉級數如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出：$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$傅立葉級數的時間微分特性如果 $x(t)$ 是一個週期為 T 的週期函式，且傅立葉級數係數為 $C_{n}$。如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$則連續時間傅立葉級數的時間微分特性表明$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$證明根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (3)}$$對等式 (3) 兩邊進行時間微分，我們有：$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0} t})}{dt}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}(jn\omega_{0})}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0} t}… (4)}$$$$\mathrm{∵\: \sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[jn\omega_{0}C_{n}]… ... 閱讀更多