傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$雙邊實指數函式的傅立葉變換 設一個雙邊實指數函式為：$$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}}$$雙邊實指數函式定義為：$$\mathrm{e^{-a|t|}=\begin{cases}e^{at} & for\:t ≤ 0\e^{-at} & for\:t ≥ 0 \end{cases} =e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t) }$$其中，函式$u(t)$和$u(-t)$分別是單位階躍函式和時間反轉單位階躍函式。根據傅立葉變換的定義，我們有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}[e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right]+\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$因此，雙邊實指數函式的傅立葉變換為：$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=X(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$或者，也可以表示為：$$\mathrm{e^{-a|t|}\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$幅度... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{x(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t }dt}$$正弦函式的傅立葉變換 設$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t}$$根據尤拉公式，我們有：$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t=\left[\frac{ e^{j\omega_{0} t}- e^{-j\omega_{0} t}}{2j} \right]}$$根據傅立葉變換的定義，我們有：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0} t]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}sin\:\omega_{0}\: t\: e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{ \Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\left[ \frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\right] e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[ \int_{−\infty}^{\infty}e^{j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt-\int_{−\infty}^{\infty} e^{-j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt\right]}$$$$\mathrm{=\frac{1}{2j}\{F[e^{j\omega_{0} t}] -F[e^{-j\omega_{0} t}]\}}$$由於復指數函式的傅立葉變換由下式給出：$$\mathrm{F[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})\:\:and\:\:F[e^{-j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega+\omega_{0})}$$$$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})-2\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$因此，正弦波的傅立葉變換為：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}\:t]=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$或者，也可以表示為：$$\mathrm{sin\:\omega_{0}\:t\overset{FT}{\leftrightarrow}-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$正弦函式的圖形表示... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$單邊實指數函式的傅立葉變換 單邊實指數函式定義為：$$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$其中，$u(t)$是單位階躍訊號，定義為：$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$根據傅立葉變換的定義，我們有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$因此，單邊實指數函式的傅立葉變換為：$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$或者，也可以表示為：$$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$單邊實指數函式的傅立葉變換的幅度和相位表示 單邊實指數函式的... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$符號函式的傅立葉變換 符號函式用$sgn(t)$表示，定義為$$\mathrm{sgn(t)=\begin{cases}1 & for\:t>0\-1 & for\:t

傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$矩形函式的傅立葉變換 考慮圖1所示的矩形函式。它定義為：$$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$已知$$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$因此，根據傅立葉變換的定義，我們有：$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$$$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$$$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$因此，矩形函式的傅立葉變換為$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$或者，它也可以... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$三角脈衝的傅立葉變換 圖1所示為三角訊號 −它定義為：$$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right)

頻率為$0, \omega_{0}, 2\omega_{0}, 3\omega_{0}, ....k\omega_{0}$的正弦和餘弦項的無窮級數稱為三角傅立葉級數，可以寫成：$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$這裡，常數$a_{0}, a_{n}$和$b_{n}$稱為三角傅立葉級數係數。$a_{0}$的計算 為了計算係數$a_{0}$，我們將方程(1)兩邊在一個週期內積分，即：$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt… (2)}$$我們知道，對於任何非零整數n和任何時間$t_{0}$，正弦曲線在一個完整週期內的淨面積為零。因此，$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$因此，從方程(2)中，我們得到：$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T}$$$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (3)}$$使用公式(3)，... 閱讀更多

什麼是傅立葉級數？在工程領域，大多數現象都是週期性的，例如交流電流和電壓。這些週期函式可以透過分解成它們的組成部分來進行分析，這個過程稱為傅立葉級數。因此，傅立葉級數可以定義如下： “在一定時間間隔內，用正交函式（即正弦和餘弦函式）的線性組合表示週期訊號的過程稱為傅立葉級數。”傅立葉級數僅適用於週期訊號，即在$(-\infty\:to\:\infty)$區間內週期性重複的訊號，並且... 閱讀更多

傅立葉餘弦級數是三角傅立葉級數的另一種形式。傅立葉餘弦級數也稱為極座標形式傅立葉級數或諧波形式傅立葉級數。函式x(t)的三角傅立葉級數包含相同頻率的正弦和餘弦項。也就是說，$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$其中，$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt}$$$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt}$$在方程(1)中，將正弦和餘弦項的分子和分母乘以($\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$)，我們得到：$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\right)\left( \frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}cos\:n\omega_{0} t+\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}sin\:n\omega_{0} t\right)… (2)}$$將方程(2)中的值設為：$$\mathrm{a_{0}=A_{0}}$$$$\mathrm{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}=A_{n}… (3)}$$$$\mathrm{\frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=cos\:\theta_{n}\:\:and\:\:\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=-sin\:\theta_{n}}$$我們得到：$$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(cos\:\theta_{n}\:cos\:n\omega_{0} t-sin\:\theta_{n}\:sin\:n\omega_{0} t)}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\:cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})… (4)}$$其中，$$\mathrm{\theta_{n}=-tan^{-1} \left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)… (5)}$$這... 閱讀更多

四分之一波對稱性
如果一個週期函式 x(t) 具有奇對稱性或偶對稱性以及半波對稱性，則稱其具有四分之一波對稱性。數學上，如果一個週期函式 x(t) 滿足以下條件，則稱其具有四分之一波對稱性：
$$x(t) = x(-t) \quad 或 \quad x(t) = -x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right)$$圖1顯示了一些具有四分之一波對稱性的週期函式示例。
具有四分之一波對稱性的函式的傅立葉級數係數計算如下：
情況一 - 當 n 為奇數時
$$x(t) = -x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right)$$
對於這種情況，
$$a_{0} = 0 \quad 且 \quad a_{n} = 0$$
並且，
$$b_{n} = \frac{8}{T} \int_{0}^{T/4} x(t) \sin n\omega_{0} t \, dt$$情況二 - 當 n 為偶數時
$$x(t) = x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right) ... 閱讀更多