希爾伯特變換 當訊號所有正頻率譜分量的相位角移位 (-90°)，所有負頻率譜分量的相位角移位 (+90°) 時，得到的時域函式稱為該訊號的希爾伯特變換。訊號 $\mathit{x\left(t\right)}$ 的希爾伯特變換透過 $\mathit{x\left(t\right)}$ 與 (1/πt) 的卷積得到，即： $$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$希爾伯特變換的性質 希爾伯特變換性質的陳述和證明如下：性質 1 希爾伯特變換不改變訊號的定義域。證明 令 a ... 閱讀更多

卷積 卷積是結合兩個訊號以產生第三個訊號的數學工具。換句話說，卷積可以定義為用於表達 LTI 系統的輸入和輸出之間關係的數學運算。考慮兩個訊號 $\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$. 那麼，這兩個訊號的卷積定義為：$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$卷積的性質 連續時間卷積具有基本的和重要的性質，如下所示：卷積的交換律 - 卷積的交換律指出，我們卷積兩個訊號的順序不會… 閱讀更多

失真定義為訊號在透過系統時形狀的變化。因此，當系統的輸出是輸入訊號的精確副本時，訊號透過系統的傳輸就被認為是無失真的。這個副本，即系統的輸出，可能具有不同的幅度，也可能具有不同的時間延遲。輸出訊號幅度的恆定變化和恆定時間延遲不被認為是失真。只有訊號形狀的變化才被認為是失真。數學上，… 閱讀更多

對於連續時間函式 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅立葉變換可以定義為：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$用傅立葉變換進行系統分析 考慮一個由微分方程描述的 LTI（線性時不變）系統，如下所示：$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$對方程兩邊進行傅立葉變換，得到：$$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$利用線性性質 $\mathrm{\left [ i.e., \: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ... 閱讀更多

對於連續時間函式 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅立葉變換可以定義為：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$傅立葉變換的時域縮放性質 陳述 - 傅立葉變換的時域縮放性質指出，如果訊號在時間上被擴充套件了一個量 (a)，則其傅立葉變換在頻率上被壓縮相同的量。因此，如果$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$那麼，根據傅立葉變換的時域縮放性質$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$當 𝑎 > 1 時，𝑥(𝑎𝑡) 是… 閱讀更多

傅立葉變換 對於連續時間函式 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅立葉變換可以定義為：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$逆傅立葉變換定義為：$$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$複函式的傅立葉變換 考慮一個表示為 - 的複函式 𝑥(𝑡)：$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right )}$$其中，𝑥𝑟 (𝑡) 和 𝑥𝑖 (𝑡) 分別是函式的實部和虛部。現在，函式 𝑥(𝑡) 的傅立葉變換由下式給出：$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ... 閱讀更多

卷積 兩個訊號 𝑥(𝑡) 和 ℎ(𝑡) 的卷積定義為：$$\mathrm{y\left ( t \right )=x\left( t \right )\ast h\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( \tau \right )h\left ( t-\tau \right )d\tau}$$該積分也稱為卷積積分。時間卷積定理 陳述 - 時間卷積定理指出，時域中的卷積等價於頻域中其頻譜的乘積。因此，如果兩個時間訊號的傅立葉變換給出為：$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1} \left ( \omega \right )}$$以及$$\mathrm{x_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2} \left ( \omega \right )}$$那麼，根據時間… 閱讀更多

線性系統 - 疊加原理和齊次性原理有效的系統稱為線性系統。線性系統的濾波特性 對於給定的線性系統，輸入訊號 𝑥(𝑡) 會產生響應訊號 𝑦(𝑡)。因此，系統會根據系統的特性來處理輸入訊號 𝑥(𝑡)。輸入訊號 𝑥(𝑡) 的頻譜密度函式在 s 域中由 𝑋(𝑠) 給出，在頻域中由 𝑋(𝜔) 給出。同樣，響應訊號 𝑦(𝑡) 的頻譜密度函式在 s 域中由 𝑌(𝑠) 給出，在頻域中由 𝑌(𝜔) 給出。因此，$$\mathrm{Y\left ( s \right ... 閱讀更多

能量譜密度 訊號在頻域中的能量分佈稱為能量譜密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度譜。它用 $\psi (\omega )$ 表示，由下式給出：$$\mathrm{\psi (\omega )=\left | X(\omega ) \right |^{2}}$$自相關 自相關函式給出了訊號與其延遲版本之間相似性的度量。能量訊號 x(t) 的自相關函式由下式給出：$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:x^{*}(t-\tau )\:dt}$$其中，引數 $\tau$ 稱為延遲引數。ESD 和自相關函式之間的關係 自相關函式 $R(\tau$) 和能量譜密度 (ESD) 函式… 閱讀更多

傅立葉變換 對於連續時間函式 x(t)，x(t) 的傅立葉變換可以定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:e^{-jwt}\:dt}$$逆傅立葉變換定義為：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$傅立葉變換的時間積分性質 陳述 連續時間傅立葉變換的時間積分性質指出，函式 x(t) 在時域中的積分等價於其傅立葉變換在頻域中除以因子 jω。因此，如果：$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega )}$$那麼，根據時間積分性質$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega )}{j\omega };\:\:(if\:X(0)=0)}$$證明 當 X(0)=0 時；則可以使用分部積分法證明 CTFT 的時間積分性質。因此，根據逆… 閱讀更多