傅立葉級數只能用於分析週期訊號，而傅立葉變換可以用於分析週期和非週期函式。因此，傅立葉變換可以作為分析整個區間內週期和非週期訊號的通用數學工具。週期訊號的傅立葉變換可以使用衝激函式的概念來求解。現在，考慮一個週期為 $\mathit{T}$ 的週期訊號 $\mathit{x\left(t\right )}$。則 $\mathit{x\left(t\right )}$ 用指數傅立葉級數表示為：$$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t}}}$$其中 $\mathit{C_{n}}$ 為 ... 閱讀更多

線性時不變系統對於一個系統，如果疊加原理和齊次性原理有效，並且輸入/輸出特性不隨時間變化，則稱為線性時不變 (LTI) 系統。LTI 系統的衝激響應當衝激訊號施加到線性系統時，系統的響應稱為衝激響應。系統的衝激響應對於理解系統行為非常重要。因此，如果$$\mathrm{\mathit{\mathrm{輸入}, x\left(t\right)=\delta\left(t\right)}}$$則，$$\mathrm{\mathit{\mathrm{輸出}, y\left(t\right)=h\left(t\right)}}$$由於衝激函式的拉普拉斯變換和傅立葉變換分別為：$$\mathrm{\mathit{L\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}\:\:\mathrm{and} \:\:F\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$因此，一旦 ... 閱讀更多

連續時間 LTI 系統的傳遞函式可以使用拉普拉斯變換或傅立葉變換來定義。此外，LTI 系統的傳遞函式只能在零初始條件下定義。連續時間 LTI 系統的框圖如下所示。頻域中 LTI 系統的傳遞函式LTI 系統的傳遞函式 𝐻(𝜔) 可以透過以下方式之一定義：−LTI 系統的傳遞函式定義為輸出訊號的傅立葉變換與輸入訊號的傅立葉變換之比，前提是 ... 閱讀更多

因果性條件因果系統是在輸入施加之前不會產生輸出的系統。因此，對於 LTI（線性時不變）系統，要使其因果，系統的衝激響應必須在 t 小於零時為零，即：$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{0};\; \; \mathrm{for}\: \: t< 0}}$$術語物理實現表示可以即時構建該系統。物理可實現的系統在輸入施加之前不會產生輸出。這稱為系統的因果性條件。因此，... 閱讀更多

傅立葉變換對於連續時間函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt }}$$逆傅立葉變換定義為：$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }} $$傅立葉變換的帕塞瓦爾定理陳述 – 帕塞瓦爾定理指出，訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的能量[如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 為非週期]或訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的功率[如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ ... 閱讀更多

無失真傳輸當訊號透過系統傳輸並且訊號的形狀發生變化時，稱為失真。如果系統的輸出是輸入訊號的精確副本，則訊號透過系統的傳輸稱為無失真傳輸。線性相位系統為了實現訊號透過系統的無失真傳輸，不應該存在任何相位失真，即系統的相位應該是線性的。對於線性相位系統，系統的衝激響應關於延遲時間 $\mathit{(t_{d})}$ 對稱。證明對於線性相位系統，我們有：$$\mathrm{ \mathit{H\left ... 閱讀更多

對於連續時間函式 $\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅立葉變換定義為$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$逆傅立葉變換定義為：$$\mathrm{\mathit{F^{\mathrm{-1}}\left [ X\left ( \omega \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}x\left ( t \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }}$$傅立葉變換的乘積特性陳述 – 連續時間傅立葉變換 (CTFT) 的乘積特性指出，兩個函式在時域中的乘積等價於它們在頻域中的頻譜卷積。乘積特性也稱為傅立葉變換的頻率卷積定理。... 閱讀更多

對於連續時間函式 $\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty} x\left(t\right)\:e^{-j\omega t}\:dt} }$$高斯訊號的傅立葉變換高斯函式 - 高斯函式定義為：$$\mathrm{\mathit{g_{a}\left(t\right)\mathrm{=} e^{-at^{\mathrm{2}}} ;\:\:\mathrm{for\:all} \:t} }$$因此，根據傅立葉變換的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right)\mathrm{=} F\left [e^{-at^\mathrm{2}} \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}e^{-at^\mathrm{2}} \:e^{-j\omega t} \:dt}}$$$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X\left(\omega\right) \mathrm{=}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(at^\mathrm{2}+j\omega t\right) }\:dt \mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\left [{-t\sqrt{a}+(j\omega/\mathrm{2}\sqrt{a})}\right]^{2}}}dt }$$令，$$\mathrm{\mathit{\left [t\sqrt{a}+(j\omega /\mathrm{2}\sqrt{a})\right ]\mathrm{=} u}}$$則，$$\mathrm{\mathit{du\mathrm{=} \sqrt{a} \:dt\:\mathrm{and}\: \:dt\mathrm{=} \frac{du}{\sqrt{a}}}}$$$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty }^{\infty} \frac{e^{-u^{\mathrm{2}}}}{\sqrt{a}}\:du\:\mathrm{=} \frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du}}$$$$\mathrm{\mathit{\because\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du\mathrm{=} \sqrt{\pi}}}$$$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}\frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{\pi}\mathrm{=} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)} } }$$因此，高斯函式的傅立葉變換為：$$\mathrm{\mathit{F\left [e^{-at^{\mathrm{2}}}\right ] \mathrm{=}\sqrt{\frac{\pi}{a}} ... 閱讀更多

功率譜密度訊號在頻域中的平均功率分佈稱為功率譜密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度譜。功率譜密度用 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 表示，由下式給出：$$\mathrm{\mathit{S\left (\omega \right )\mathrm{=}\lim_{\tau \rightarrow \infty }\frac{\left | X\left (\omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}{\tau }}}$$自相關自相關函式給出了訊號與其時間延遲版本的相似性度量。功率（或週期）訊號 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 的自相關函式，任意週期 T 為：$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\lim_{T\rightarrow \infty }\mathrm{\frac{1}{\mathit{T}}}\int_{-\left(T/\mathrm{2}\right)}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:x^{*}\left(t-\tau \right)\:dt}}$$其中，... 閱讀更多

什麼是濾波器？濾波器是一種頻率選擇性網路，即它允許某些頻率的訊號透過而沒有衰減或衰減非常小，並且它拒絕所有其他頻率分量。什麼是理想濾波器？理想濾波器是一種頻率選擇性網路，具有非常尖銳的截止特性，即它精確地傳輸某些指定頻帶的訊號，並完全拒絕該頻帶之外的頻率訊號。因此，理想濾波器的相位譜是線性的。理想濾波器特性基於頻率響應特性，理想濾波器可以分為以下幾種型別：理想 ... 閱讀更多