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法律研究理想濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）的特性
什麼是濾波器？
濾波器是一種頻率選擇性網路，即它允許某些頻率的訊號傳輸，而沒有衰減或衰減非常小，並且它會抑制所有其他頻率分量。
什麼是理想濾波器？
理想濾波器是一種頻率選擇性網路，具有非常尖銳的截止特性，即它精確地傳輸特定指定頻帶的訊號，並完全抑制該頻帶之外的頻率訊號。因此，理想濾波器的相位譜是線性的。
理想濾波器特性
根據頻率響應特性，理想濾波器可以分為以下型別：
理想低通濾波器（LPF）
理想高通濾波器（HPF）
理想帶通濾波器（BPF）
理想帶阻濾波器（BRF）
理想全通濾波器
理想低通濾波器（LPF）
理想低通濾波器是指一種傳輸所有頻率小於某一頻率 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒的訊號，而沒有任何失真，並完全阻擋所有頻率高於 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒的訊號的濾波器。其中，頻率 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒稱為 截止頻率。理想低通濾波器的相位函式由 $[\mathit{\theta \left(\omega\right)=-\omega t_{d}}]$ 給出。
理想低通濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left | H\left(\omega\right) \right |=\left\{\begin{matrix} \mathrm{1}\:\:\mathrm{當}\:\left | \omega\ \right|<\omega_{c} \ \mathrm{0} \:\:\mathrm{當}\:\left | \omega\ \right|>\omega_{c} \end{matrix}\right.}}$$
因此，理想低通濾波器的頻率響應特性為門函式或矩形函式，如圖 1 所示。
理想高通濾波器（HPF）
理想高通濾波器傳輸所有頻率高於某一頻率 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒的訊號，而沒有任何失真，並完全阻擋所有頻率低於頻率 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒的訊號。這裡，頻率 $\mathit{\omega_{c}}$ 弧度/秒稱為 截止頻率。理想高通濾波器的相位函式由下式給出：
$$\mathrm{\theta (\omega )=-\omega t_{d}}$$
理想高通濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left | H\left(\omega\right) \right |=\left\{\begin{matrix} \mathrm{0}\:\:\mathrm{當}\:\left | \omega\ \right|<\omega_{c} \ \mathrm{1} \:\:\mathrm{當}\:\left | \omega\ \right|>\omega_{c} \end{matrix}\right.}}$$
圖 2 顯示了理想高通濾波器的頻率響應特性。
理想帶通濾波器（BPF）
理想帶通濾波器傳輸所有頻率在某一頻帶 $\mathit{\left(\omega _{\mathrm{2}}-\omega_{\mathrm{1}}\right)}$ 弧度/秒內的訊號，而沒有任何失真，並完全阻擋該頻帶之外的所有頻率訊號。
頻帶 $\mathit{\left(\omega _{\mathrm{2}}-\omega_{\mathrm{1}}\right)}$ 稱為 帶通濾波器的頻寬。
為了無失真傳輸，理想帶通濾波器的相位函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\theta\left(\omega\right)=-\omega t_{d}}}$$
理想帶通濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left | H\left(\omega\right) \right |=\left\{\begin{matrix} \mathrm{1}\:\:\mathrm{當}\:\left | \omega_{\mathrm{1}}\ \right|<\omega< \left | \omega_{2}\ \right| \\mathrm{0} \:\:\mathrm{當}\:\omega<\left | \omega_{\mathrm{1}}\ \right|\&\:\omega>\left | \omega_{\mathrm{2}}\ \right| \end{matrix}\right.}}$$
圖 3 顯示了理想帶通濾波器 (BPF) 的頻率響應特性。
理想帶阻濾波器（BRF）
理想帶阻濾波器完全抑制所有頻率在某一頻帶 $\mathit{\left(\omega _{\mathrm{2}}-\omega_{\mathrm{1}}\right)}$ 弧度/秒內的訊號，並傳輸該頻帶之外的所有頻率訊號，而沒有任何失真。
在這種情況下，頻帶 $\mathit{\left(\omega _{\mathrm{2}}-\omega_{\mathrm{1}}\right)}$ 稱為抑制帶。帶阻濾波器也稱為 帶阻濾波器 (BSF) 或帶消除濾波器 (BEF)。 理想帶阻濾波器的相位函式為 $\mathit{\theta\left(\omega\right)=-\omega t_{d}}$。
理想帶阻濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left | H\left(\omega\right) \right |=\left\{\begin{matrix} \mathrm{0}\:\:\mathrm{當}\:\left | \omega_{\mathrm{1}}\ \right|<\omega< \left | \omega_{\mathrm{2}}\ \right| \\mathrm{1} \:\:\mathrm{當}\:\omega<\left | \omega_{\mathrm{1}}\ \right|\&\:\omega>\left | \omega_{\mathrm{2}}\ \right| \end{matrix}\right.}}$$
圖 4 顯示了理想帶阻濾波器的頻率響應特性。
理想全通濾波器
全通濾波器是一種頻率選擇性網路，它傳輸所有頻率的訊號，而沒有任何失真。也就是說，全通濾波器的頻寬是無限的，如圖 5 所示。理想全通濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left| H\left(\omega\right)\right |=\left\{\mathrm{1}\:\:\mathrm{對於所有}\:\omega\right.}}$$
理想全通濾波器為了無失真傳輸的相位函式為 $\mathit{\theta\left(\omega\right)=-\omega t_{d}}$。
注意 - 所有理想濾波器都是非因果系統。因此，它們都不能在物理上實現。
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