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法學什麼是理想重建濾波器？
什麼是資料重建？
資料重建定義為從取樣訊號$x_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}$中獲得模擬訊號$x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的過程。資料重建也稱為插值。
取樣訊號由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\delta \mathrm{\left ( \mathit{t-nT} \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right )}\delta\mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}$$
其中，$\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{t-nT} \right)}$ 除了在時刻 *t = nT* 外均為零。一個假設為線性時不變的重建濾波器具有單位衝激響應 $\mathit{h\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}$。重建濾波器的輸出由卷積給出：
$$\mathrm{\mathit{y\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\delta\mathrm{\left(\mathit{k-nT} \right)}\mathit{h}\mathrm{\left ( \mathit{t-k} \right )}\mathit{dk}}$$
透過重新排列積分和求和的順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{y\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\int_{-\infty}^{\infty}\delta\mathrm{\left(\mathit{k-nT} \right)}\mathit{h}\mathrm{\left ( \mathit{t-k} \right )}\mathit{dk}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{y\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\mathit{x}\:\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\mathit{h}\mathrm{\left ( \mathit{t-nT} \right )}}$$
理想重建濾波器
理想重建濾波器用於從取樣訊號構建平滑的模擬訊號。如果訊號 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 以高於奈奎斯特取樣率的頻率進行取樣，並且取樣訊號 $x_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}$ 然後透過一個理想重建濾波器（或理想低通濾波器），頻寬大於 $\mathit{f_{m}}$（這是訊號中存在的最大頻率），但小於 $\mathrm{\left(\mathit{f_{s}-f_{m}}\right )}$，並且帶通幅度響應為 T，則濾波器的輸出為 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$。理想重建濾波器的頻寬取為 0.5 $\mathit{f_{s}}$。
因此，理想重建濾波器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{H\mathrm{\left(\mathit{f}\right)}}\:\mathrm{=}\:\begin{cases} T & \text{ for } \left|f \right|<\:0.5f_{s} \ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}}$$
理想重建濾波器的框圖如圖所示。(此處應插入圖片)
理想重建濾波器的衝激響應由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathrm{=}\int_{-0.5\mathit{f_{s}}}^{0.5\mathit{f_{s}}}\mathit{\mathit{T}\:e^{j\mathrm{2}\pi ft}\:df}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{t} \right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{T}\mathrm{\left[\frac{\mathit{e^{j\mathrm{2}\pi ft}}}{\mathit{j}\mathrm{2}\mathit{\pi t}}\right ]^{0.5\mathit{f}_{s}}_{-0.5\mathit{f}_{s}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{T}}{\mathit{j}\mathrm{2}\mathit{\pi t}}\mathrm{\left(\mathit{e^{j\pi f_{s}t}-e^{-j\pi f_{s}t}} \right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\frac{1}{\mathit{\pi f_{s}t}}\mathrm{\left(\frac{\mathit{e^{j\pi f_{s}t}-e^{-j\pi f_{s}t}}}{2\mathit{j}}\right )}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathit{\pi f_{s}t}}{\mathit{\pi f_{s}t}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{h\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{sinc}\mathrm{\left(\mathit{f_{s}t}\right)}}$$
將衝激響應的值代入重建濾波器輸出的表示式中，我們有：
$$\mathrm{\mathit{y\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\:\mathrm{sinc\:\mathit{f_{s}}}\mathrm{\left ( \mathit{t-nT} \right )}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\:\mathrm{sinc\:\mathrm{\left ( \frac{\mathit{t}}{\mathit{T}}-\mathit{n} \right )}}}$$
因此，很明顯，可以透過對以樣本時間為中心的 sinc 函式對每個樣本進行加權並求和來重建原始訊號。理想重建濾波器是非因果的，其衝激響應不是有限的。因此，它不能用於即時應用。
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