三角傅立葉級數 週期函式可以在一定的時間區間內用正交函式的線性組合來表示。如果這些正交函式是三角函式，則稱為三角傅立葉級數。數學上，週期訊號的標準三角傅立葉級數展開式為： $$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$指數傅立葉級數 週期函式可以在一定的時間區間內用正交函式的線性組合來表示，如果這些正交函式是指數函式，則稱為指數傅立葉級數。數學上，週期... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換定義為： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$逆傅立葉變換 連續時間函式的逆傅立葉變換定義為： $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$傅立葉變換的性質 連續時間傅立葉變換 (CTFT) 具有許多重要的性質。這些性質可用於推導傅立葉變換對，以及推匯出一般的頻域關係。這些性質還有助於找到各種時域運算對頻域的影響。連續時間傅立葉變換的一些重要性質如下表所示：CTFT 的性質時域 x(t)頻域 X(ω)線性性質$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$$aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$時移... 閱讀更多

傅立葉級數 如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為： $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (2)}$$調製或乘法性質 設 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 是兩個週期為 $T$ 的週期訊號，其傅立葉級數係數分別為 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$則連續時間傅立葉級數的調製或乘法性質指出：$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{n-k}}$$證明 從連續時間傅立葉級數的定義，我們得到： $$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} ... 閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅立葉變換的調製性質 陳述 - 連續時間傅立葉變換的調製性質指出，如果連續時間函式 $x(t)$ 乘以 $cos \:\omega_{0} t$，則其頻譜在頻率上向上和向下移動 $\omega_{0}$。因此，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$則根據 CTFT 的調製性質，$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$證明 使用尤拉公式，我們得到： $$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$因此， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$現在，根據傅立葉變換的定義，我們有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} ... 閱讀更多

傅立葉變換 對於連續時間函式 $x(t)$，傅立葉變換可以定義為： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅立葉變換的線性性質 陳述 - 傅立葉變換的線性性質指出，兩個訊號的加權和的傅立葉變換等於它們各自傅立葉變換的加權和。因此，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$則根據傅立葉變換的線性性質，$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$其中，a 和 b 是常數。證明 根據傅立葉變換的定義，我們有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$或者，它也可以寫成： $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$傅立葉變換的頻移性質 陳述 - ... 閱讀更多

傅立葉級數 如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為： $$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$連續時間傅立葉級數的線性性質 考慮兩個週期為 T，傅立葉級數係數分別為 $C_{n}$ 和 $D_{n}$ 的週期訊號 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$則連續時間傅立葉級數的線性性質指出：$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$證明 根據週期函式傅立葉級數的定義，我們得到： $$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$比較公式 (2) 和 (3)，... 閱讀更多

什麼是吉布斯現象？ 吉布斯現象由亨利·威爾布拉姆於 1848 年發現，然後由 J. 威拉德·吉布斯於 1899 年重新發現。對於具有不連續性的週期訊號，如果透過新增傅立葉級數來重建訊號，則會在邊緣附近出現過沖。這些過沖以阻尼振盪的方式從邊緣向外衰減。這被稱為吉布斯現象，如下圖所示。不連續處的過沖量與不連續的高度成正比，根據吉布斯的說法，發現它約為不連續高度的 9%，而與... 閱讀更多

傅立葉變換連續時間函式的傅立葉變換可以定義為：

傅立葉變換對於連續時間函式 $x(t)$，傅立葉變換定義為：