傅立葉級數 考慮一個週期訊號𝑔(𝑡)，其週期為T，則函式𝑔(𝑡)的傅立葉級數定義為： $$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$其中，𝐶𝑛是傅立葉級數係數，由下式給出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$從傅立葉級數推導傅立葉變換 設𝑥(𝑡)為非週期訊號，且𝑥(𝑡)和𝑔(𝑡)之間的關係由下式給出： $$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$其中，T是週期訊號𝑔(𝑡)的週期。 重新排列等式(2)，我們得到： $$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$項𝐶𝑛表示頻率nω0的分量的幅度。 設nω0 = ω，當𝑇 → ∞時。然後，我們有： $$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$因此，離散的……閱讀更多

傅立葉變換 連續時間函式𝑥(𝑡)的傅立葉變換可以定義為： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅立葉變換的卷積性質 陳述——兩個訊號在時域中的卷積等效於它們在頻域中的頻譜乘積。因此，如果 $$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$那麼，根據傅立葉變換的時域卷積性質， $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$證明 兩個連續時間訊號𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)的卷積定義為： $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$現在，根據傅立葉變換的定義，我們有： $$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$透過交換積分順序，我們得到： $$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$透過在第二個積分中替換(𝑡 − 𝜏) = 𝑢，……閱讀更多

傅立葉級數 如果𝑥(𝑡)是週期為T的週期函式，則該函式的連續時間傅立葉級數定義為： $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$其中，𝐶𝑛是指數傅立葉級數係數，由下式給出： $$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$傅立葉級數的卷積性質 根據卷積性質，兩個函式𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)在時域卷積的傅立葉級數等於它們在頻域中傅立葉級數係數的乘積。 如果𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)是兩個週期為T且傅立葉級數係數分別為𝐶𝑛和𝐷𝑛的週期函式。那麼，如果 $$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$那麼，連續時間傅立葉級數的卷積性質指出： $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$證明 透過……閱讀更多

傅立葉變換 對於連續時間函式x(t)，x(t)的傅立葉變換可以定義為： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅立葉變換的共軛性質 陳述——傅立葉變換的共軛性質指出，時域中函式x(t)的共軛導致其在頻域中傅立葉變換的共軛，並且ω被替換為(−ω)，即，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那麼，根據傅立葉變換的共軛性質， $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$證明 根據傅立葉變換的定義，我們有 $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$在兩邊取共軛，我們得到 $$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$現在，透過將(ω)替換為(−ω)，我們得到： $$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$或者，它也可以表示為： $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$自相關性質……閱讀更多

指數傅立葉級數 週期訊號在一定的時間間隔內表示為正交函式的線性組合。如果這些正交函式是指數函式，則該函式的傅立葉級數表示稱為指數傅立葉級數。 指數傅立葉級數是傅立葉級數中最常用的形式。在這種表示中，週期函式x(t)表示為復指數函式的加權和。復指數傅立葉級數是傅立葉級數的一種方便且緊湊的形式，因此它在通訊理論中得到了廣泛的應用。 解釋 設一組復……閱讀更多

當在R Ω的電阻上施加V伏特的電壓時，電流I將流過它。電阻中耗散的功率由下式給出： $$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$但是當電壓和電流訊號不恆定時，功率在每個時刻都會變化，瞬時功率的方程由下式給出： $$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$其中，𝑖(𝑡)和𝑣(𝑡)分別是電流和電壓的瞬時值。 現在，如果電阻(R)的值為1 Ω，則瞬時功率可以表示為： $$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$因此，訊號x(t)的瞬時功率可以給出……閱讀更多

傅立葉變換 對於連續時間函式x(t)，x(t)的傅立葉變換可以定義為： $$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$連續時間傅立葉變換的對偶性質 陳述——如果函式x(t)具有傅立葉變換X(ω)，並且我們在時域中形成一個具有傅立葉變換函式形式的新函式X(t)，那麼它將具有一個傅立葉變換X(ω)，其函式形式為原始時間函式，但它是頻率的函式。 在數學上，CTFT的對偶性質指出，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那麼，根據對偶性質， $$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$證明 根據傅立葉逆變換的定義，我們有 $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega ... 閱讀更多

週期訊號的傅立葉級數表示具有多種重要特性，這些特性在將訊號從一種形式轉換為另一種形式的過程中非常有用。考慮兩個週期為 T 的週期訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡)，其傅立葉級數係數分別為 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛。基於此假設，讓我們繼續檢查連續時間傅立葉級數的各種性質。線性性質連續時間傅立葉級數的線性性質指出，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那麼$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$時移性質傅立葉級數的時移性質指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那麼$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$時間尺度變換性質傅立葉級數的時間尺度變換性質指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那麼$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$時間…閱讀更多

波形對稱性的重要性如果週期訊號 𝑥(𝑡) 具有某種型別的對稱性，則一些三角傅立葉級數係數可能變為零，因此係數的計算變得簡單。偶對稱或映象對稱當週期函式關於垂直軸對稱時，則稱其具有偶對稱性或映象對稱性。偶對稱性也稱為反射對稱性。數學上，如果週期函式 x(t) 滿足$$\mathrm{𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)\:\:\:\:\:\: ...(1)}$$則稱其具有偶對稱性。圖中顯示了一些具有偶對稱性的函式示例。偶函式始終關於垂直軸對稱。解釋作為…閱讀更多

傅立葉變換傅立葉變換是一種變換技術，它將訊號從連續時間域變換到相應的頻域，反之亦然。連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換定義為：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt… (1)}$$傅立葉逆變換連續時間函式的傅立葉逆變換定義為：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omega t}d\omega… (2)}$$公式 (1) 和 (2) 中的 $X(\omega)$ 和 $x(t)$ 稱為傅立葉變換對，可以表示為 −$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$和$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$傅立葉變換對錶函式, x(t)傅立葉變換, X(ω)$\delta(t)$1$\delta(t-t_{0})$$e^{-j \omega t_{0}}$1$2\pi \delta(\omega)$u(t)$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} \right)$sgn(t)$\frac{2}{j\omega}$$ e^{j\omega_{0}t}$$ 2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$$ cos\:\omega_{0}t$$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$$sin\:\omega_{0}t$$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$$e^{-at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{a+j\omega}$$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$$e^{-|at|};\:\:a >0$$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$$e^{-|t|}$$\frac{2}{1+\omega^{2}}$$\frac{1}{\pi t}$$-j\:sgn(\omega)$$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$$\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$$\Pi (\frac{t}{τ})$$τ\:sin c(\frac{\omega τ}{2})$$\Delta(\frac{t}{τ})$$\frac{τ}{2}sin C^{2}(\frac{\omega τ}{4})$$\frac{sin\:at}{\pi t}$$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1 & for\:|\omega|\:< a\0 & for\:|\omega|\: > a…閱讀更多