資料結構
網路
RDBMS
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法律研究利用傅立葉變換分析LTI系統
對於連續時間函式𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
利用傅立葉變換進行系統分析
考慮一個由以下微分方程描述的LTI（線性時不變）系統：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$
對上述方程兩邊進行傅立葉變換，得到：
$$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$
利用傅立葉變換的線性性質$\mathrm{\left [ i.e.,\: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}\left ( \omega \right )+bX_{2}\left ( \omega \right ) \right ] }$，得到：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}F\left [ \frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}F\left [ \frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$
現在，利用傅立葉變換的時間微分性質$\mathrm{\left [ i.e.,\frac{\mathrm{d} x\left ( t \right )}{\mathrm{d} t}\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega X\left ( \omega \right ) \right ] }$，得到：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}Y\left ( \omega \right )=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}X\left ( \omega \right )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow Y\left ( \omega \right )\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}=X\left ( \omega \right )\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}$$
因此，給定LTI系統的傳遞函式為：
$$\mathrm{H\left ( \omega \right )=\frac{Y\left ( \omega \right )}{X\left ( \omega \right )}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}}$$
這裡，𝐻(𝜔)被稱為LTI系統的頻率響應。
現在，當對系統施加脈衝輸入時，即：
$$\mathrm{x\left ( t \right )=\delta \left ( t \right )}$$
然後：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=1\; and\; Y\left ( \omega \right )=H\left ( \omega \right )}$$
同時：
$$\mathrm{F^{-1}\left [ H\left ( \omega \right ) \right ]=h\left ( t \right )}$$
這裡，ℎ(𝑡)稱為LTI系統的衝激響應。衝激響應的傅立葉變換稱為系統的頻率響應或傳遞函式。
系統的頻率響應表示為：
$$\mathrm{H\left ( \omega \right )=\left | H\left ( \omega \right ) \right |e^{j\angle H\left ( \omega \right )}}$$
其中：
$\mathrm{\left | H\left ( \omega \right ) \right |}$ 稱為系統的幅頻響應，並且
$\mathrm{e^{j\angle H\left ( \omega \right )}}$ 稱為系統的相頻響應。
2K+ 次瀏覽
