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法律研究將下列情境表示成二次方程的形式
(i) 一個矩形地塊的面積為 $528\ m^2$。地塊的長度（以米為單位）比其寬度的兩倍多一米。我們需要求出地塊的長和寬。
(ii) 兩個連續正整數的乘積為 306。我們需要求出這兩個整數。
(iii) 羅漢的母親比他大 26 歲。3 年後，他們年齡的乘積將是 360。我們想求出羅漢現在的年齡。
(iv) 一列火車以勻速行駛 480 公里。如果速度降低 8 公里/小時，那麼它將需要多花 3 個小時才能行駛相同的距離。我們需要求出火車的速度。
需要做的事情
我們需要將給定的情境表示成二次方程的形式。
解答
(i) 矩形地塊的面積$=528\ m^2$。
地塊的長度（以米為單位）比其寬度的兩倍多一米。
設地塊的寬度為 $x\ m$。
這意味著，
地塊的長度$=2x+1\ m$。
我們知道，
長為 $l$，寬為 $b$ 的矩形的面積為 $lb$。
因此，
矩形地塊的面積$=(x)(2x+1)\ m^2$。
根據題意，
$x(2x+1)=528$ (來自公式 1)
$2x^2+x=528$
$2x^2+x-528=0$
用因式分解法求解 $x$，得到：
$2x^2+33x-32x-528=0$
$2x(x-32)+33(x-32)=0$
$(2x+33)(x-32)=0$
$2x+33=0$ 或 $x-32=0$
$2x=-33$ 或 $x=32$
長度不能為負數。因此，$x=32$。
$2x+1=2(32)+1=64+1=65\ m$
地塊的寬度為 $32\ m$，地塊的長度為 $65\ m$。
(ii) 兩個連續正整數的乘積為 $306$。
設這兩個連續整數為 $x$ 和 $x+1$，其中 $x$ 是較小的整數。
因此，
$x(x + 1) = 306$
$x^2 + x – 306 = 0$
$x^2+18x-17x-306=0$
$x(x+18)-17(x+18)=0$
$(x+18)(x-17)=0$
$x+18=0$ 或 $x-17=0$
$x=17$ 或 $x=-18$
這意味著，
如果 $x=17$，則 $x+1=17+1=18$
如果 $x=-18$，則 $x+1=-18+1=-17$
(iii) 羅漢的母親比他大 26 歲。3 年後，他們年齡的乘積將是 360。
設羅漢現在的年齡為 $x$。
這意味著，
母親的年齡 $= x+26$
3 年後羅漢的年齡 $= x+3$
3 年後母親的年齡 $=(x+26)+3=x+29$。
因此，
$(x+3)(x+29) = 360$
$x(x+29)+3(x+29) = 360$
$x^2+29x+3x+87 = 360$
$x^2+32x+87-360 = 0$
$x^2+39x-7x-273=0$
$x(x+39)-7(x+39)=0$
$(x+39)(x-7)=0$
$x+39=0$ 或 $x-7=0$
$x=7$ 或 $x=-39$，這是不可能的
羅漢現在的年齡是 $7$ 歲。
(iv) 一列火車以勻速行駛 480 公里。如果速度降低 8 公里/小時，那麼它將需要多花 3 個小時才能行駛相同的距離。
設火車的原始速度為 $x$ 公里/小時。
這意味著，
火車以原始速度行駛 480 公里所需的時間$=\frac{480}{x}$ 小時
當速度比原始速度降低 8 公里/小時時，火車行駛 480 公里所需的時間$=\frac{480}{x-8}$ 小時
根據題意，
$\frac{480}{x-8}-\frac{480}{x}=3$
$480(\frac{(x)-(x-8)}{(x)(x-8)})=3$
$480(\frac{8}{x^2-8x})=3$
$(480)(8)=3(x^2-8x)$ (交叉相乘)
$160(8)=x^2-8x$
$x^2-8x-1280=0$
用因式分解法求解 $x$，得到：
$x^2-40x+32x-1280=0$
$x(x-40)+32(x-40)=0$
$(x-40)(x+32)=0$
$x-40=0$ 或 $x+32=0$
$x=40$ 或 $x=-32$
速度不能為負數。因此，$x$ 的值為 $40$ 公里/小時。
火車的原始速度為 $40$ 公里/小時。
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