使用NOR門實現SOP形式的邏輯函式

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在深入瞭解如何僅使用NOR門實現SOP形式的邏輯函式或布林表示式之前，讓我們先從SOP形式和NOR門的某些基本知識開始。

SOP形式

SOP形式代表**積之和形式**。SOP形式是一種將布林表示式表示為積項之和的形式。

例如，

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=AB+ABC+B\overline{C}}$$

這是一個用SOP（積之和）形式表示的布林函式。

NOR門

**NOR門**是一種通用邏輯閘，即NOR門可用於實現任何其他型別的邏輯閘或邏輯函式。

NOR表示NOT + OR。這意味著OR的輸出被取反或反轉。因此，NOR門是OR門和NOT門的組合，即

$$\mathrm{NOR Gate = OR Gate + NOT Gate}$$

NOR門是一種邏輯閘，只有當所有輸入都為低電平（邏輯0）時，其輸出才為高電平（邏輯1），即使任何輸入變為高電平（邏輯1），它也會輸出低電平（邏輯0）。雙輸入NOR門的邏輯符號如圖1所示。

這裡，A和B是NOR門的輸入變數，Y是NOR門的輸出變數，則NOR門的輸出由下式給出：

$$\mathrm{Y=\overline{A+B}=\lgroup A+B\rgroup'}$$

它讀作“Y等於A加B的整體取反”。

可以透過真值表理解NOR門的操作。以下是NOR門的真值表：

輸入		輸出
A	B	Y = (A+B)'
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

德摩根定理

使用NOR門實現SOP形式的布林函式需要了解布林代數的德摩根定理。

德摩根定理有兩個定律，如下所示：

**定律1** - 根據德摩根定理的第一定律，變數的邏輯或運算的補碼等價於變數的邏輯與運算的補碼形式，即

$$\mathrm{\overline{A+B+C}=\overline{A}. \overline{B}.\overline{C}}$$

**定律2** - 德摩根定理的這條定律指出，變數的邏輯與運算的補碼等價於變數的邏輯或運算的補碼形式，即

$$\mathrm{\overline{A.B.C}=\overline{A}+ \overline{B}+\overline{C}}$$

因此，我們已經討論了使用NOR門僅實現SOP形式的邏輯表示式的所有基本概念。現在，讓我們討論如何使用NOR門實現SOP形式的邏輯函式。

使用NOR門實現SOP形式的邏輯函式

SOP（積之和）形式的布林函式或邏輯函式可以使用NOR門來實現。要使用NOR門實現SOP表示式，我們首先需要將給定的邏輯函式轉換為可以使用NOR門實現的形式。為此，需要遵循以下步驟：

**步驟1** - 對給定的布林或邏輯函式進行雙重取反。

例如，考慮以下布林函式：

$$\mathrm{Y=AB+BC}$$

取雙重取反後，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\overline{AB+BC}}}$$

**步驟2** - 透過首先應用德摩根定理的第一定律，將邏輯或運算轉換為邏輯與運算，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\overline{AB}.\overline{BC}}}$$

**步驟3** - 將積項轉換為和項，使用德摩根的第二定理，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\lgroup\overline{A}+\overline{B}\rgroup. \lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

**步驟4** - 將剩餘的與運算轉換為或運算，使用德摩根的第二定理，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\lgroup\overline{A}+\overline{B}\rgroup}+ \lgroup\overline{\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

這是可以使用NOR門實現的布林函式的形式。

**步驟5** - 最後，確定實現表示式所需的NOR門數量，並根據邏輯函式連線它們以獲得邏輯電路。

現在，讓我們討論一些已解決的示例，以更深入地理解這個概念。

示例1

使用NOR門實現以下SOP形式的邏輯函式。

$$\mathrm{Y=AB+ABC+BC}$$

解決方案

給定的邏輯函式為：

$$\mathrm{Y=AB+ABC+BC}$$

對函式進行雙重取反，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= Y=\overline{\overline{AB+ABC+BC}}}$$

應用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A+B+C}= \overline{A}.\overline{B}.\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{ \overline{AB}.\overline{ABC}. \overline{BC}}}$$

使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$，我們有：

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+ \overline{B}\rgroup.\lgroup\overline{A} +\overline{B}+\overline{C}\rgroup. \lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

再次使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+ \overline{B}\rgroup}+\overline{\lgroup\overline{A} +\overline{B}+\overline{C}\rgroup}+ \overline{\lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

因此，這是可以使用NOR門實現的給定邏輯函式的形式。圖2顯示了使用NOR門實現此SOP形式的邏輯函式Y。

**注意** - A'與A̅相同。

示例2

使用NOR門實現以下SOP形式的邏輯函式。

$$\mathrm{Y=A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}$$

解決方案

給定的邏輯函式為：

$$\mathrm{Y=A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}$$

由於給定形式的函式無法使用NOR門實現。因此，我們首先將其轉換為可以使用NOR門實現的形式，如下所示：

對兩邊進行雙重取反，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}=Y=\overline{\overline{A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}}}$$

使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A+B+C}= \overline{A}.\overline{B}.\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{\overline{A\overline{B}}.\overline{B\overline{C}}.\overline{ABC}}}$$

再次應用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$將與運算轉換為或運算，即

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+B\rgroup.\lgroup\overline{B}+C\rgroup.\lgroup\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

再次應用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$將與運算轉換為或運算，即

$$\mathrm{Y=\lgroup\overline{\overline{A}+B}\rgroup+\lgroup\overline{\overline{B}+C}\rgroup+\lgroup\overline{\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}}\rgroup}$$

這是可以使用NOR門實現的給定邏輯函式的形式。現在，確定NOR門的數量，並根據邏輯表示式連線它們以獲得函式的邏輯實現。圖3顯示了使用NOR門實現給定SOP形式的邏輯函式。

結論

這就是使用NOR門實現SOP形式的邏輯函式的全部內容。從以上討論中，我們可以得出結論，SOP形式的邏輯函式不能直接使用NOR門實現，但需要先將其轉換為可實現的形式。然後，將NOR門連線在一起以實現所需的邏輯函式。