使用與非門實現SOP形式的邏輯函式

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SOP 形式

SOP 形式代表**積之和形式**。SOP 形式是一種將布林表示式表示為乘積項之和的形式。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=AB+ABC+B\overline{C}}$$

這是一個用 SOP (積之和) 形式表示的布林函式。

與非門

與非門是一種通用邏輯閘。它是一種可以用來實現任何型別的邏輯函式或任何其他型別的邏輯閘的邏輯閘。

與非門基本上是兩種基本邏輯閘的組合，即與門和非門，即：

$$\mathrm{與非邏輯 = 與邏輯 + 非邏輯}$$

與非門是一種邏輯閘，當所有輸入都為高電平時，其輸出為低電平 (邏輯 0)，當任何一個輸入為低電平時 (邏輯 0)，其輸出為高電平 (邏輯 1)。因此，與非門的操作與與門的操作相反。雙輸入與非門的邏輯符號如圖 1 所示。

這裡，A 和 B 是輸入變數，Y 是與非門的輸出變數，則其輸出由下式給出：

$$\mathrm{Y=\overline{A.B}=\lgroup A.B\rgroup'}$$

讀作“Y 等於 A.B 的非”。

可以透過真值表來理解一組輸入變數的與非門操作。以下是雙輸入與非門的真值表：

輸入		輸出
A	B	Y = (A.B)'
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

德摩根定理

使用僅與非門實現 SOP 形式的布林函式需要了解布林代數的德摩根定理。

根據德摩根定理，變數的邏輯或操作的補等於變數的補的邏輯與操作，即：

$$\mathrm{\overline{A+B+C}=\overline{A}.\overline{B}.\overline{C}}$$

現在，我們已經討論了使用僅與非門實現 SOP 形式的邏輯表示式所需的所有基本概念。因此，讓我們討論使用與非門實現 SOP 形式的邏輯函式。

使用與非門實現 SOP 形式的邏輯函式

SOP (積之和) 形式的布林函式或邏輯函式可以使用僅與非門來實現。要僅使用與非門實現 SOP 表示式，應遵循以下步驟：

• **步驟 1** - 對給定的布林或邏輯函式進行雙重求補。

• **步驟 2** - 透過應用德摩根定理將邏輯或運算轉換為邏輯與運算。

• **步驟 3** - 確定邏輯函式中的乘積項數。這裡，函式中的乘積項數將給出實現該函式所需的與非門的數量。

• **步驟 4** - 最後，根據邏輯表示式連線所有與非門來實現邏輯電路圖。

現在，讓我們考慮一些例子來深入理解這個概念。

示例 1

僅使用與非門實現以下 SOP 形式的邏輯函式。

$$\mathrm{\mathit{f}=A\overline{C}+BC+ABC}$$

解答

給定的邏輯函式是：

$$\mathrm{\mathit{f}=A\overline{C}+BC+ABC}$$

對等式兩邊進行雙重求補，我們得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{\mathit{f}}}=\mathit{f}=\overline{\overline{A\overline{C}+BC+ABC}}}$$

應用德摩根定理：

$$\mathrm{\mathit{\overline{\overline{f}}}=\mathit{f}=\overline{\overline{A\overline{C}}.\overline{BC}.\overline{ABC}}}$$

要實現此布林函式，我們需要 4 個與非門，即 3 個與非門用於實現 3 個乘積項，一個與非門用於組合前 3 個與非門的輸出。此布林函式的實現如圖 2 所示。

示例 2

使用與非門實現以下 SOP 形式的布林函式。

$$\mathrm{Y=AB+A\overline{C}+\overline{B}C+ABC}$$

解答

給定的布林函式是：

$$\mathrm{Y=AB+A\overline{C}+\overline{B}C+ABC}$$

對等式兩邊進行雙重求補，我們得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}=Y=\overline{\overline{AB+A\overline{C}+\overline{B}C+ABC}}}$$

應用德摩根定理，我們得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}=Y= \overline{\overline{AB}.\overline{A\overline{C}}. \overline{\overline{B}C}.\overline{ABC}}}$$

要實現此表示式，我們需要 5 個與非門。這裡，需要 4 個與非門來實現乘積項，需要一個與非門來組合前 4 個與非門的輸出。使用與非門實現此布林表示式的實現如圖 3 所示。

結論

這就是關於使用與非門實現 SOP 形式的邏輯函式的全部內容。從上面的討論可以看出，SOP 形式的布林函式的實現首先需要使用布林代數中的德摩根定理將其轉換為乘積形式。