求一個三次多項式，其三個根的和、兩兩乘積之和以及三個根的乘積分別為 3、-1 和 -3。

求一個三次多項式，其三個根的和、兩兩乘積之和以及三個根的乘積分別為 3、-1 和 -3。

已知

根的和、兩兩乘積之和以及根的積分別為 $3$、$-1$ 和 $-3$。

求解

我們需要找到滿足給定條件的三次多項式。

解


我們知道：

三次多項式的標準形式為 $ax^3+bx^2+cx+d$，其中 a、b、c 和 d 為常數，且 $a≠0$。


它也可以根據其與根的關係寫成：

$f(x) = k[x^3 – (根的和)x^2 + (兩兩乘積之和)x – (根的積)] $

其中，k 是任意非零實數。

這裡，

$f(x) = k[x^3 – (3)x^2 + (-1)x – (-3)]$

$f(x) = k [x^3 – 3x^2 – x + 3]$

其中，k 為任意非零實數，即為所需的三次多項式。

更新於：2022年10月10日

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