如果圓的兩條相等弦在圓內相交，證明一條弦的線段等於另一條弦的對應線段。

已知

圓的兩條相等弦在圓內相交

需要做

我們需要證明一條弦的線段等於另一條弦的對應線段。

解答

設 $AB$ 和 $CD$ 是兩條在點 $R$ 相交的相等弦。

從圓心畫一條垂直於 $AB$ 的線段，再畫一條垂直於 $CD$ 的線段。

$OP \perp AB$

$OQ \perp CD$。

連線 $OR$。

從圖中，

$OP$ 平分 $AB$ 且 $OP \perp AB$

$OQ$ 平分 $CD$ 且 $OQ \perp CD$

$AB = CD$

這意味著，

$AP = QD$.........(i)

$PB = CQ$.........(ii)

在三角形 $OPR$ 和 $OQR$ 中，

$\angle OPR = \angle OQR$

$OR = OR$           (公共邊)

$OP = OQ$           ($AB$ 和 $CD$ 相等且它們到圓心的距離相等)

因此，根據 RHS 全等，

$\triangle OPR \cong \triangle OQR$

這意味著，

$PR = QR$..........(iii)          (對應邊相等)

由 (i) 和 (ii) 可得，

$AP+PR = QD+QR$

$AR = RD$

由 (ii) 和 (iii) 可得，

$PB-PR = CQ-QR$

$BR = CR$

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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