如果分數的分子乘以2，分母減去5，則分數變為$\frac{6}{5}$。並且，如果分母加倍，分子增加8，則分數變為$\frac{2}{5}$。求出這個分數。

已知

如果分數的分子乘以2，分母減去5，則分數變為$\frac{6}{5}$。並且，如果分母加倍，分子增加8，則分數變為$\frac{2}{5}$。

 要求

我們需要找到原來的分數。

解答

設原分數的分子和分母分別為$x$和$y$。

原分數$=\frac{x}{y}$

當分子乘以2，分母減去5時，分數變為$\frac{6}{5}$。

這意味著：

新的分數$=\frac{2\times x}{y-5}=\frac{2x}{y-5}$

根據題意：

$\frac{2x}{y-5}=\frac{6}{5}$

$5(2x)=6(y-5)$ (交叉相乘)

$10x=6y-30$

$6y=10x+30$

$6y=2(5x+15)$

$y=\frac{5x+15}{3}$.....(i)

當分母加倍，分子增加8時，分數變為$\frac{2}{5}$。

這意味著：

$\frac{x+8}{2\times y}=\frac{2}{5}$

$5(x+8)=2(2y)$ (交叉相乘)

$5x+40=4y$

$5x-4y+40=0$

$5x-4(\frac{5x+15}{3})+40=0$ (由(i)式可得)

$\frac{3(5x)-4(5x+15)+3(40)}{3}=0$

$15x-20x-60+120=3(0)$

$-5x+60=0$

$5x=60$

$x=\frac{60}{5}$

$x=12$

$\Rightarrow y=\frac{5(12)+15}{3}$

$y=\frac{60+15}{3}$

$y=\frac{75}{3}$

$y=25$

因此，原分數是$\frac{12}{25}$。  

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更新於：2022年10月10日

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