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法律研究從一棟高\( AB, 60 \mathrm{~m} \)的建築物頂部，觀察到一垂直燈柱\( CD \)的頂部和底部的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。求建築物和燈柱高度的差。
已知
從一棟高\( A B, 60 \mathrm{~m} \)的建築物頂部，觀察到一垂直燈柱\( C D \)的頂部和底部的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
要求
我們需要求建築物和燈柱高度的差。
解:
根據圖示，
$\mathrm{AB}=60 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BDE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BCA}=60^{\circ}$
設\( A B \)和\( C D \)之間的水平距離為$\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，燈柱的高度為$\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AE}=\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$
$\mathrm{DE}=\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$
$\mathrm{BE}=60-h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BE }}{DE}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{60-h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{60-h}{x}$
$\Rightarrow x=(60-h)\sqrt3 \mathrm{~m}$............(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BA }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{60}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{60}{(60-h)\sqrt3}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow [(60-h)\sqrt3]\sqrt3=60 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (60-h)3=60 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 60-h=20 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=60-20 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=40 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=(60-40)(1.73)=20(1.73)=34.64 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow \mathrm{AB}-\mathrm{CD}=60-40=20 \mathrm{~m}$
因此，建築物和燈柱高度的差為 $20 \mathrm{~m}$.
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