對於下列聯立方程組求出 k 的值，使聯立方程組具有無窮多解。$(k−3)x+3y=k$ 和 $kx+ky=12$.

已知：線性方程組：$(k−3)x+3y$; $kx+ky=12$

任務：求出 k 的值，使得給定的方程組具有無限多個解。

給定的線性方程組是

$(k - 3 ) x + 3y = k$

$kx + ky = 12$

我們可以將這些方程寫成

$( k - 3 ) x + 3y - k = 0……….( 1)$

$kx + ky - 12 = 0 ………….( 2)$

與含有兩個變數 x 和 y 的線性方程組的一般形式進行比較

$a_1x + b_1y + c_1 = 0$

和 $a_2x + b_2y + c_2= 0$

$a_1=k-3,\ b_1=-3,\ c_1=-k$

$a_2= k,\ b_2=k,\ c_2=-12$

$\frac{a_1}{a_2}= \frac{k-3}{k},\ \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{k},\ \frac{c_1}{c_2}=\frac{-k}{-12}=\frac{k}{12}$

已知，如果

$\frac{a_1}{a_2} =\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

則線性方程組有無限個解

選取前兩項

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

$\Rightarrow \frac{k-3} {k} =\frac{3}{k}$

$\Rightarrow k - 3 = 3$

$\Rightarrow k = 3 + 3$

$\Rightarrow k = 6$

選取第二和第三項

$\Rightarrow \frac{3}{k}= \frac{k}{12}$

$\Rightarrow k^2 = 36$

$\Rightarrow k =\sqrt{36}$

$\Rightarrow k = 6$

因此，若 $k=6$，給定的方程對將有無數多個解。