求使下列方程組
\(2 x+k y=1\)
\( 3 x-5 y=7 \)
無解的 $k$ 的值。是否存在某個 $k$ 的值使得該方程組有無限多個解？

已知：

給定的方程組為

\(2 x+k y=1\)
\( 3 x-5 y=7 \)

要求：

我們要求出 $k$ 的值，使得給定的方程組無解，以及是否存在某個 $k$ 的值使得給定的方程組有無限多個解。

解答

給定的方程組可以寫成

$2x+ky-1=0$

$3x-5y-7=0$

二元一次方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

將給定的方程組與標準形式的方程進行比較，我們有：

$a_1=2, b_1=k, c_1=-1$ 以及 $a_2=3, b_2=-5, c_2=-7$

上述方程組無解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

因此，

$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}≠\frac{-1}{-7}$

$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}≠\frac{1}{7}$

$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}$

$k=\frac{-5\times2}{3}$

$k=\frac{-10}{3}$

給定的方程組有無限多個解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$

這裡，

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \  ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

因此，不存在某個 $k$ 的值使得給定的方程組有無限多個解。

使得給定的方程組無解的 $k$ 的值為 $\frac{-10}{3}$。  

教程點

更新時間： 2022 年 10 月 10 日

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