求解以下方程組有無窮多解時k的值
$2x\ +\ (k\ -\ 2)y\ =\ k$
$6x\ +\ (2k\ -\ 1)y\ =\ 2k\ +\ 5$

已知：方程組為 $2x\ +\ (k\ -\ 2)y\ =\ k$；$6x\ +\ (2k\ -\ 1)y\ =\ 2k\ +\ 5$
 

求解：求解方程組有無窮多解時k的值

解：

給定的方程組可以寫成

$2x\ +\ (k\ -\ 2)y\ =\ k$

$6x\ +\ (2k\ -\ 1)y\ =\ 2k\ +\ 5$

給定的方程組的形式為

$a_1x+b_1y+c_1=0$

$a_2x+b_2y+c_2=0$

這裡，$a_1=2, b_1=k-2, c_1=-k; a_2=6, b_2=2k-1, c_2=-(2k+5)$

為了有無窮多解，必須有

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$\frac{2}{6}=\frac{k-2}{2k-1}=\frac{-k}{-(2k+5)}$

$\frac{1}{3}=\frac{k-2}{2k-1}=\frac{k}{2k+5}$

$\frac{1}{3}=\frac{k-2}{2k-1}$ 且 $\frac{k-2}{2k-1}=\frac{k}{2k+5}$

$3(k-2)=2k-1$ 且 $(2k+5)(k-2)=k(2k-1)$

$3k-6=2k-1$ 且 $2k^2+5k-4k-10=2k^2-k$

$3k-2k=5$ 且 $k-10=-k$

$k=5$ 且 $2k=10 => k=5$

k=5滿足兩個條件

因此，當$k=5$時，給定的方程組有無窮多解

教程點

更新於：2022年10月10日

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