(i) 對於哪些 $a$ 和 $b$ 的值，下列線性方程組有無限多個解？
$2x + 3y = 7$
$(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2$。
(ii) 對於哪個 $k$ 值，下列線性方程組無解？
$(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1$。

待辦事項：

我們需要求解

(i) $a$、$b$ 的值，以及給定的線性方程組是否具有無限多個解。

(ii) $k$ 的值，以及給定的線性方程組對是否無解。

解答

(i) 給定的方程組為：$2x + 3y = 7$ ..... $(i)$

$(a - b)x + (a + b)y = 3a + b - 2$ ..... $(ii)$

它有無限多個解

這意味著：

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

$\Rightarrow \frac{2}{a - b} = \frac{3}{a + b} = \frac{7}{3a + b - 2}$

$\frac{2}{a - b} = \frac{3}{a + b}$

$\Rightarrow 2(a + b) = 3(a - b)$

$\Rightarrow 2a + 2b = 3a - 3b$

$\Rightarrow a - 5b = 0$

$\Rightarrow a = 5b$ ..... $(iii)$

現在，$\frac{3}{a + b} = \frac{7}{3a + b - 2}$

$\Rightarrow 7a + 7b = 9a + 3b - 6$

$\Rightarrow 2a - 4b = 6$

$\Rightarrow a - 2b = 3$

$\Rightarrow 5b - 2b = 3$

$\Rightarrow 3b = 3$

$\Rightarrow b = 1$

$\therefore a = 5 \times 1 = 5$ [因為根據 $(iii)$ 式 $a = 5b$]

因此，$a = 5$ 且 $b = 1$。