求解以下線性方程組有無窮多個解時，a 和 b 的值
$2x-3y=7$
$(a+b)x-(a+b-3) y=4a+b$

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已知：

給定的方程組為

$2x-3y=7$
$(a+b)x-(a+b-3) y=4a+b$

要求：

我們需要找到 $a$ 和 $b$ 的值，使得以下線性方程組有無窮多個解。

解答

給定的方程組可以寫成

$2x-3y-7=0$

$(a+b)x-(a+b-3) y-(4a+b)=0$

二元一次方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

將給定的方程組與標準形式的方程進行比較，我們有：

$a_1=2, b_1=-3, c_1=-7$ 以及 $a_2=(a+b), b_2=-(a+b-3), c_2=-(4a+b)$

給定方程組有無窮多個解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

$\frac{2}{a+b}=\frac{-3}{-(a+b-3)}=\frac{-7}{-(4a+b)}$

$\frac{2}{a+b}=\frac{3}{(a+b-3)}=\frac{7}{(4a+b)}$

$\frac{2}{a+b}=\frac{3}{a+b-3}$ 以及 $\frac{2}{a+b}=\frac{7}{4a+b}$

$(a+b-3)\times2=3\times(a+b)$ 以及 $(4a+b)\times2=7\times(a+b)$

$2a+2b-6=3a+3b$ 以及 $8a+2b=7a+7b$

$3a-2a+3b-2b=-6$ 以及 $8a-7a=7b-2b$

$a+b=-6$ 以及 $a=5b$

將 $a=5b$ 代入 $a+b=-6$，得到：

$5b+b=-6$

$6b=-6$

$b=-1$

這意味著：

$a=5b=5(-1)=-5$

當給定方程組有無窮多個解時，$a$ 和 $b$ 的值分別為 $-5$ 和 $-1$。