求解以下方程組有無限多解時，\( a \) 和 \( b \) 的值
$3x+4y=12$
$(a+b)x+2(a-b)y=5a-1$

已知：

給定的方程組為

$3x+4y=12$
$(a+b)x+2(a-b)y=5a-1$

要求：

我們要求解 $a$ 和 $b$ 的值，使得給定的方程組有無限多解。

解答

給定的方程組可以寫成

$3x+4y-12=0$
$(a+b)x+2(a-b)y-(5a-1)=0$

二元一次方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

將給定的方程組與方程的標準形式進行比較，我們有：

$a_1=3, b_1=4, c_1=-12$ 以及 $a_2=(a+b), b_2=2(a-b), c_2=-(5a-1)$

給定方程組有無限多解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

$\frac{3}{a+b}=\frac{4}{2(a-b)}=\frac{-12}{-(5a-1)}$

$\frac{3}{a+b}=\frac{2}{a-b}=\frac{12}{5a-1}$

$\frac{3}{a+b}=\frac{12}{5a-1}$ 以及 $\frac{2}{a-b}=\frac{12}{5a-1}$

$3\times(5a-1)=12\times(a+b)$ 以及 $2\times(5a-1)=12\times(a-b)$

$15a-3=12a+12b$ 以及 $10a-2=12a-12b$

$15a-12a=12b+3$ 以及 $12a-10a=12b-2$

$3a=3(4b+1)$ 以及 $2a=2(6b-1)$

$a=4b+1$ 以及 $a=6b-1$

這意味著：

$4b+1=6b-1$

$6b-4b=1+1$

$2b=2$

$b=1$

$\Rightarrow a=4(1)+1=4+1=5$

當給定方程組有無限多解時，$a$ 和 $b$ 的值分別為 $5$ 和 $1$。    

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更新於： 2022年10月10日

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