求解以下方程組有無數解時\( a \)和\( b \)的值
$2x+3y=7$
$(a-b)x+(a+b)y=3a+b-2$

已知：

給定的方程組為

$2x+3y=7$
$(a-b)x+(a+b)y=3a+b-2$

解題步驟：

我們需要確定$a$和$b$的值，使得給定的方程組有無數個解。

解答

給定的方程組可以寫成

$2x+3y-7=0$
$(a-b)x+(a+b)y-(3a+b-2)=0$

二元方程組的標準形式為$a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$和$a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$。

將給定的方程組與方程的標準形式進行比較，我們有：

$a_1=2, b_1=3, c_1=-7$ 和 $a_2=(a-b), b_2=(a+b), c_2=-(3a+b-2)$

給定的方程組有無數個解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} $

$\frac{2}{a-b}=\frac{3}{a+b}=\frac{-7}{-(3a+b-2)}$

$\frac{2}{a-b}=\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3a+b-2}$

$\frac{2}{a-b}=\frac{3}{a+b}$ 和 $\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3a+b-2}$

$2(a+b)=3(a-b)$ 和 $3(3a+b-2)=7(a+b)$

$2a+2b=3a-3b$ 和 $9a+3b-6=7a+7b$

$3a-2a=2b+3b$ 和 $9a-7a+3b-7b=6$

$a=5b$ 和 $2a-4b=6$

將$a=5b$代入$2a-4b=6$，我們得到：

$2(5b)-4b=6$

$10b-4b=6$

$6b=6$

$b=1$

這意味著：

$a=5(1)=5$

當$a=5$且$b=1$時，給定的方程組有無數個解。

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更新於：2022年10月10日

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