求半徑為\( 14 \mathrm{~cm} \)的圓的劣弓形的面積，已知對應的扇形的圓心角為\( 60^{\circ} . \)

已知

圓的半徑 $=14\ cm$。

對應的扇形的圓心角 $=60^{\circ}$。

要求

我們必須找到圓的劣弓形的面積。

解答

設$AB$為圓的弦，$O$為圓心。

在$\Delta \mathrm{AOB}$中，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=r$

這意味著，

$\Delta \mathrm{AOB}$是等腰三角形。

設$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\theta$

在$\Delta \mathrm{OAB}$中， 

$\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}=180^{\circ}$

$\Rightarrow 60^{\circ}+\theta+\theta=180^{\circ}$

$\Rightarrow 2 \theta=120^{\circ}$

$\Rightarrow \theta=60^{\circ}$

因此，

$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=60^{\circ}$

這意味著，

$\triangle \mathrm{AOB}$是等邊三角形。

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=14 \mathrm{~cm}$

$\Delta OAB$的面積$=\frac{\sqrt{3}}{4}(14)^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 196$

$=49 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$

扇形$\mathrm{OBAO}$的面積$=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} $

$=\frac{22}{7} \times \frac{60^{\circ}}{360} \times 196$

$=\frac{22 \times 2 \times 14}{6}$

$=\frac{22 \times 14}{3}$

$=\frac{308}{3} \mathrm{~cm}^{2}$

劣弓形的面積 = 扇形$OBAO$的面積 - $\Delta OAB$的面積

$=(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$

劣弓形的面積為$(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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