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法律一個半徑為 \( 20 \mathrm{~cm} \) 的圓的弦在圓心處張成一個 \( 90^{\circ} \) 的角。求該圓相應優扇形的面積。（使用 \( \pi=3.14 \)）
已知
一個半徑為 \( 20 \mathrm{~cm} \) 的圓的弦在圓心處張成一個 \( 90^{\circ} \) 的角。
要求
我們要求出該圓相應優扇形的面積。
解答
設 $AB$ 為半徑為 $10\ cm$ 的圓的弦，$O$ 為圓心。
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
這意味著，
優扇形的圓心角 $=360^{\circ}-90^{\circ}$
$=270^{\circ}$
優扇形的面積 $=\frac{270}{360} \times \pi \times(10)^{2}$
$=\frac{3}{4} \times 3.14 \times 100$
$=75 \times 3.14$
$=235.5 \mathrm{~cm}^{2}$
作 $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$
$\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$
$\angle \mathrm{AOM}=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}$
$=45^{\circ}$
$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 45^{\circ}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\mathrm{AM}=10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{~cm}$
因此，
$\mathrm{AB}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ 和 $\mathrm{OM}=\mathrm{OA}$
$\cos 45^{\circ}=10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
$\Delta \mathrm{OAB}$ 的面積 $=\frac{1}{2}\times10 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2}$
$=50 \mathrm{~cm}^{2}$
優扇形的面積 $=235.5+50$
$=285.5 \mathrm{~cm}^{2}$
優扇形的面積為 $285.5 \mathrm{cm}^{2}$。
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