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法律研究一個半徑為 14 釐米的圓的弦在圓心處張成一個 120° 的角。求該圓對應劣弧段的面積。$\left( 使用\ \pi =\frac{22}{7} \ 和\ \sqrt{3} =1.73\right) \ $
已知：一個半徑為 14 釐米的圓，以及一條張成 $120^{o}$ 角的弦。
求解：求出該圓的劣弧段的面積。
解答：假設有一個圓心為 O 的圓，AB 是給定的弦，如圖所示。
已知給定圓的半徑，$r=14\ cm$
弦 AB 張成的角，$\angle AOB=120^{o}$。
首先我們求出扇形 $AOB$ 的面積，然後求出三角形 $\vartriangle AOB$ 的面積。
扇形 $AOB$ 的面積 $=\frac{\theta }{360^{o}} \pi r^{2}$
這裡 $\theta=120^{o}$ 和$\ r=14\ cm$
$=\frac{120^{o}}{360^{o}} \times \frac{22}{7} \times ( 14)^{2}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14\times 14$
$=\frac{616}{3} \ cm^{2}$
扇形 $AOB$ 的面積 $=205.33\ cm^{2}$
$\vartriangle ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2} \times OA\times OB\times sin120^{o}$
這裡 $OA=OB=$給定圓的半徑$=14\ cm$
並且我們知道 $sin120^{o} =\frac{\sqrt{3}}{2}$，將這些值代入公式，
$\vartriangle ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2} \times 14\times 14\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=49\sqrt{3}$
$=49\times 1.73$
$=84.77\ cm^{2}$
圓的劣弧段的面積 $=$扇形 AOB 的面積$-$$\vartriangle AOB$ 的面積
$\ =205.33-84.77$
$=120.56\ cm^{2}$
因此，劣弧段的面積為 $120.56\ cm^{3}$。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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