下圖顯示了一個半徑為 r cm 的圓形扇區，包含一個 θ° 角。扇形的面積為 A cm²，扇形的周長為 50 cm。證明 θ = 360/π (25/r - 1)

已知

一個半徑為 r cm 的圓形扇區，包含一個 θ° 角。

扇形的面積為 A cm²，扇形的周長為 50 cm。

要求

我們需要證明 θ = 360/π (25/r - 1)。

解答

根據圖示，

圓形扇區的半徑 = r cm

中心角 = θ

扇形 OAB 的面積 = A cm²

扇形 OAB 的周長 = 50 cm

扇形的面積 = πr²(θ/360°)

⇒ A = πr²(θ/360°)

因此，

周長 = OA + 弧 AB + OB

⇒ 50 = 2r + 2πr(θ/360°)

⇒ 50 - 2r = 2πr(θ/360°)

⇒ θ/360° = (50 - 2r) / (2πr)

⇒ θ/360° = 25/(πr) - 1/π

⇒ θ/360° = 25/(πr) - 1/π

⇒ θ = 360(25/(πr) - 1/π)

⇒ θ = 360/π (25/r - 1)

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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