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法學下圖顯示了一個圓形扇區，圓心為 O，包含一個角度 θ。證明：陰影區域的面積為 $\frac{r^{2}}{2}(\tan \theta-\frac{\pi \theta}{180})$
已知
一個圓形扇區，圓心為 O，包含一個角度 θ。
要求
我們必須證明陰影區域的面積為 $\frac{r^{2}}{2}(\tan \theta-\frac{\pi \theta}{180})$。
解答
從圖中可以看出：
圓的半徑 = r
弧 AC 在圓心處張開的角度為 θ。
∠OAB 是一個直角三角形。
在直角三角形 OAB 中：
$\tan \theta=\frac{AB}{OA}$
$\Rightarrow AB=OA \times \tan \theta$
$=r \tan \theta$
△OAB 的面積 = $\frac{1}{2} OA \times AB$
$=\frac{1}{2} \times r \times (r \tan \theta)$
$=\frac{1}{2} r^{2} \tan \theta$
扇形 OAC 的面積 = $\pi r^{2} (\frac{\theta}{360^{\circ}})$
$=\frac{\pi r^{2} \theta}{360}$
因此：
陰影部分的面積 = △OAB 的面積 - 扇形 OAC 的面積
$=\frac{1}{2} r^{2} \tan \theta-\frac{\pi r^{2} \theta}{360}$
$=\frac{1}{2} r^{2}(\tan \theta-\frac{2 \pi \theta}{360})$
$=\frac{1}{2} r^{2}(\tan \theta-\frac{\pi \theta}{180})$
$=\frac{r^{2}}{2}(\tan \theta-\frac{\pi \theta}{180})$
證畢。
更新於：2022年10月10日
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