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$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}$
已知
給定語句為$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}$。
要求
我們必須證明給定語句中$LHS=RHS$。
解答
$LHS =\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}$
我們知道：
$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta-1$
$\tan^2 \theta = (\sec \theta-1)(\sec \theta+1)$ $[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]$
$\tan \theta \cdot \tan \theta = (\sec \theta-1)(\sec \theta+1)$
$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\sec \theta+1}{\tan \theta}$
根據比例定理：
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$
所以，$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\sec \theta+1}{\tan \theta}= \frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\sec \theta-1+\tan \theta}$
因此，$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}= \frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}= RHS$。
證畢。
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