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法律研究如果\( \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{7}} \)，證明\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\sec ^{2} \theta}=\frac{3}{4} \)
已知
$tan\ \theta = \frac{1}{\sqrt7}$。
要求
我們必須證明\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\sec ^{2} \theta}=\frac{3}{4} \)。
解:
假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，$\ tan\ \theta = tan\ A = \frac{1}{\sqrt7}$。
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$cosec\ \theta=\frac{斜邊}{對邊}=\frac{AC}{BC}$
$ecs\ \theta=\frac{斜邊}{鄰邊}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(\sqrt7)^2+(1)^2$
$\Rightarrow AC^2=7+1$
$\Rightarrow AC=\sqrt{8}=2\sqrt2$
因此，
$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt2}{1}=2\sqrt2$
$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt7}$
現在，
讓我們考慮左邊，
$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\sec ^{2} \theta}=\frac{\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} -\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{2}}{\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{2}}$
$=\frac{8-\frac{8}{7}}{8+\frac{8}{7}}$
$=\frac{\frac{56-8}{7}}{\frac{56+8}{7}}$
$=\frac{48}{64}$
$=\frac{3}{4}$
$=$ 右邊
因此得證。
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