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法學證明以下三角恆等式：\( \frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\tan \theta \)
待辦事項
我們需要證明\( \frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\tan \theta \).
解答
我們知道：
$\sec ^{2} \theta-\tan^2 \theta=1$.......(i)
$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.......(ii)
$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.........(iii)
因此：
$\frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\frac{\left(\sec ^{2} \theta\right) \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}}$ [根據(i)和(ii)]
$=\frac{\frac{1}{\cos^2 \theta} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}}$
$=\tan \theta$ [根據(iii)]
證畢。
更新於：2022年10月10日
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