證明以下三角恆等式：\( \operatorname{cosec}^{6} \theta=\cot ^{6} \theta+3 \cot ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta+1 \)

待辦事項

我們需要證明\( \operatorname{cosec}^{6} \theta=\cot ^{6} \theta+3 \cot ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta+1 \)。

解答

我們知道，

$\operatorname{cosec} ^{2} \theta-\cot^2 \theta=1$.......(i)

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.........(ii)

因此，

$\operatorname{cosec}^{6} \theta=(\operatorname{cosec} ^2 \theta)^3$

$=(1+\cot^2 \theta)^3$                [根據 (i)]

$=1^3+(\cot^2 \theta)^3+3(1)(\cot^2 \theta)(1+\cot^2 \theta)$        [根據 (ii)]          

$=1+\cot^6 \theta+3\cot^2 \theta(1+\cot^2 \theta)$

$=1+\cot^6 \theta+3\cot^2 \theta\operatorname{cosec}^2 \theta$         [根據 (i)]

$=\cot ^{6} \theta+3 \cot ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta+1$

證畢。    

教程點

更新於： 2022-10-10

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