證明下列恆等式：如果\( \operatorname{cosec} \theta+\cot \theta=m \) 且 \( \operatorname{cosec} \theta-\cot \theta=n \)，證明 \( mn=1 \)

已知

\( \operatorname{cosec} \theta+\cot \theta=m \) 且 \( \operatorname{cosec} \theta-\cot \theta=n \)

要求

我們必須證明 \( mn=1 \).

解答

我們知道：

$\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot^2 \theta=1$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

因此，

$m \times n = (\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)$

$=\operatorname{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta$
$=1$

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更新於：2022年10月10日

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